Analisi Matematica II

In breve

Che significato ha sommare infiniti numeri? A prima vista sembra un'assurdità — una somma senza fine dovrebbe dare infinito. Eppure ci sono somme infinite che danno un risultato finito: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots = 1$. Le serie numeriche sono lo strumento con cui l'analisi dà senso rigoroso a queste somme infinite. L'idea-chiave è non "sommare tutto in un colpo" (impossibile), ma considerare le somme parziali (la somma dei primi $n$ termini) e guardare il loro limite: se le somme parziali si avvicinano a un valore finito, la serie converge a quel valore; altrimenti diverge o è indeterminata. Studiare una serie significa quindi rispondere a due domande: converge? (il carattere della serie) e, se sì, a quanto? (la somma). La prima domanda è quasi sempre la più importante e si affronta con i criteri di convergenza (del confronto, del rapporto, della radice, di Leibniz per le serie a segni alterni). Le serie sono il fondamento per rappresentare funzioni (serie di Taylor, cap. 2) e attraversano tutta la matematica applicata. Questo capitolo introduce serie, convergenza e i criteri fondamentali.

🎯 Alla fine di questo capitolo saprai: cos'è una serie numerica e la definizione di convergenza tramite le somme parziali; la serie geometrica e la serie armonica (esempi-guida); la condizione necessaria di convergenza (il termine tende a zero); i criteri per le serie a termini positivi (confronto, confronto asintotico, rapporto, radice); la serie armonica generalizzata; le serie a segni alterni e il criterio di Leibniz; la convergenza assoluta.

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Che cos'è una serie: le somme parziali

Perché conta: la definizione tramite somme parziali è ciò che rende rigorosa l'idea di "somma infinita"; tutto il resto ne dipende.

Data una successione di numeri $a_1, a_2, a_3, \dots$, vogliamo dare senso alla somma infinita $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$, che scriviamo $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$. Non potendo sommare "tutti insieme" infiniti termini, procediamo per gradi con le somme parziali:

$s_1 = a_1, \quad s_2 = a_1 + a_2, \quad s_3 = a_1 + a_2 + a_3, \quad \dots, \quad s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$

La somma parziale $s_n$ è la somma dei primi $n$ termini (una somma finita, ben definita). La "somma infinita" è allora definita come il limite delle somme parziali.

📌 Definizione formale. La serie $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge se la successione delle somme parziali $s_n$ ha un limite finito $s$: in tal caso $s$ è la somma della serie, $\sum a_n = s$. Se $s_n \to \pm\infty$ la serie diverge; se $s_n$ non ha limite, la serie è indeterminata (irregolare).

Il "carattere" di una serie è il suo comportamento: convergente, divergente o indeterminata. Determinare il carattere è l'obiettivo primario dello studio delle serie.

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Due serie fondamentali: geometrica e armonica

Perché conta: sono gli esempi-guida da cui si ricava l'intuizione e a cui si riconducono molti criteri.

La serie geometrica. È la serie $\sum_{n=0}^{\infty} q^n = 1 + q + q^2 + q^3 + \dots$, con ragione $q$. Il suo comportamento dipende da $q$:

$\sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q} \quad \text{se } |q| < 1 \text{ (converge)}; \qquad \text{diverge/indeterminata se } |q| \ge 1$

Per $|q|<1$ converge alla somma $\frac{1}{1-q}$ (formula fondamentale, dalla somma della progressione geometrica). Esempio: $\frac12 + \frac14 + \frac18 + \dots = \sum_{n=1}^\infty (\frac12)^n = \frac{1/2}{1-1/2} = 1$.

La serie armonica. È la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \dots$. Sorprendentemente, pur avendo termini che tendono a zero, essa diverge (la sua somma è infinita, sia pure lentissimamente). È l'esempio-chiave che mostra: il fatto che i termini tendano a zero NON basta per la convergenza.

🔗 Analogia. La convergenza di una serie è come una serie di passi verso un muro, ciascuno metà del precedente. Primo passo mezzo metro, poi un quarto, poi un ottavo… La distanza totale percorsa (le somme parziali) si avvicina sempre più a 1 metro senza mai superarlo: la serie geometrica converge a 1. La serie armonica è invece come passi di lunghezza $1, \frac12, \frac13, \frac14, \dots$: anche se i passi si accorciano, si accorciano troppo lentamente, e la distanza totale cresce senza limite — non c'è muro che la fermi. La differenza tra le due mostra che ciò che conta non è solo che i termini tendano a zero, ma quanto velocemente.

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La condizione necessaria di convergenza

Perché conta: è il primo test, semplicissimo, che spesso permette di escludere subito la convergenza.

📌 Condizione necessaria. Se la serie $\sum a_n$ converge, allora il termine generale tende a zero: $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$.

Attenzione all'uso corretto: è una condizione necessaria ma non sufficiente. In pratica:

• se $a_n \not\to 0$ (il termine non tende a zero), la serie certamente non converge (diverge o è indeterminata). È un test di esclusione rapido: se il termine generale non tende a zero, chiudiamo subito;
• se $a_n \to 0$, non possiamo concludere nulla: la serie potrebbe convergere (come la geometrica) o divergere (come l'armonica). Servono i criteri.

⚠️ Attenzione. L'errore più comune è credere che "$a_n \to 0$ implica convergenza". La serie armonica ($\sum 1/n$) è il controesempio da ricordare sempre: i suoi termini tendono a zero, eppure diverge. La condizione $a_n \to 0$ è solo un "biglietto d'ingresso": necessario per sperare nella convergenza, ma non garantisce nulla. Per decidere davvero servono i criteri.

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I criteri per le serie a termini positivi

Perché conta: sono gli strumenti operativi per stabilire il carattere; a termini positivi la teoria è più semplice (le somme parziali sono crescenti).

Per le serie a termini positivi ($a_n \ge 0$) le somme parziali sono crescenti, quindi la serie o converge o diverge a $+\infty$ (mai indeterminata). Esistono criteri efficaci:

Criterio del confronto. Se $0 \le a_n \le b_n$: se $\sum b_n$ converge, converge anche $\sum a_n$ (la minore); se $\sum a_n$ diverge, diverge anche $\sum b_n$ (la maggiore). Si confronta la serie data con una nota.

Criterio del confronto asintotico. Se $a_n \sim b_n$ (cioè $\frac{a_n}{b_n} \to L$ finito e non nullo) per $n\to\infty$, allora le due serie hanno lo stesso carattere. Utilissimo: si sostituisce il termine con uno asintoticamente equivalente più semplice.

Serie armonica generalizzata (o serie p), fondamentale come termine di paragone: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \quad \text{converge se } p > 1, \quad \text{diverge se } p \le 1$ (per $p=1$ è l'armonica, divergente; per $p=2$ converge, ecc.).

Criterio del rapporto (D'Alembert). Se $\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$: se $L < 1$ la serie converge; se $L > 1$ diverge; se $L = 1$ il criterio non decide.

Criterio della radice (Cauchy). Se $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = L$: stesse conclusioni ($L<1$ converge, $L>1$ diverge, $L=1$ non decide). Utile quando $a_n$ contiene potenze $n$-esime.

🧩 Esempio. Studiamo $\sum \frac{2^n}{n!}$ (termini positivi). Criterio del rapporto: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!} = \frac{2}{n+1} \to 0 = L < 1$. Quindi la serie converge. Il fattoriale al denominatore "vince" sull'esponenziale, e la crescita rapidissima del denominatore garantisce la convergenza. (Questa serie converge a $e^2 - 1$.)

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Serie a segni alterni e convergenza assoluta

Perché conta: molte serie hanno termini di segno variabile; servono strumenti specifici, e la nozione di convergenza assoluta è centrale.

Le serie a segni alterni hanno la forma $\sum (-1)^n b_n$ con $b_n > 0$ (i termini cambiano segno a ogni passo). Per esse c'è un criterio semplice:

Criterio di Leibniz. La serie a segni alterni $\sum (-1)^n b_n$ converge se la successione $b_n$ è positiva, decrescente e tende a zero ($b_n \to 0$). Esempio: la serie armonica a segni alterni $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \dots$ converge (a $\ln 2$), pur essendo l'armonica "normale" divergente: l'alternanza dei segni produce cancellazioni che salvano la convergenza.

Convergenza assoluta. Una serie $\sum a_n$ converge assolutamente se converge la serie dei valori assoluti $\sum |a_n|$. Vale un teorema fondamentale:

📌 Teorema. La convergenza assoluta implica la convergenza (semplice): se $\sum |a_n|$ converge, allora $\sum a_n$ converge.

La convergenza assoluta è una condizione più forte e "robusta". Una serie che converge ma non assolutamente (come l'armonica a segni alterni: converge, ma $\sum \frac1n$ diverge) si dice semplicemente convergente; queste serie hanno proprietà delicate (riordinandone i termini si può cambiare la somma). La convergenza assoluta è quella "sicura".

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🗺️ Come si collega il tutto

Questo capitolo apre Analisi II con le somme infinite e il concetto di convergenza via somme parziali e limiti — riprendendo i limiti di successioni di Analisi I. La serie geometrica e i criteri (rapporto, radice) sono la base delle serie di potenze e di Taylor (cap. 2), con cui si rappresentano le funzioni come somme infinite. La convergenza assoluta governa la manipolazione delle serie di funzioni. Gli strumenti qui introdotti (confronto asintotico, serie $p$) ricorrono nello studio degli integrali impropri e in tutta l'analisi. Le serie sono il primo passo verso l'idea di approssimazione e di limite del discreto, centrale nel calcolo. Base: successioni e limiti (Analisi I).

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🔑 Concetti chiave

Termine	In una frase	Da non confondere con
Serie	Somma infinita, definita come limite delle somme parziali	Successione (i termini, non la loro somma)
Convergenza	Le somme parziali tendono a un limite finito (la somma)	Divergenza (tendono a ±∞)
Serie geometrica	$\sum q^n = \frac{1}{1-q}$ se $\|q\|<1$	Serie armonica ($\sum 1/n$, diverge)
Condizione necessaria	Se converge, $a_n \to 0$ (non viceversa!)	Condizione sufficiente (i criteri)
Serie armonica generalizzata	$\sum 1/n^p$: converge se $p>1$, diverge se $p\le1$	—
Convergenza assoluta	Converge $\sum \|a_n\|$; implica la convergenza semplice	Convergenza semplice (converge $\sum a_n$ ma non $\sum\|a_n\|$)

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📝 Riepilogo

• Una serie $\sum a_n$ è la somma infinita definita come limite delle somme parziali $s_n = \sum_{k=1}^n a_k$. Converge se $s_n \to s$ finito (la somma); diverge se $s_n \to \pm\infty$; indeterminata altrimenti.
• Esempi-guida: serie geometrica $\sum q^n = \frac{1}{1-q}$ (converge se $|q|<1$); serie armonica $\sum 1/n$ (diverge, pur con termini → 0).
• Condizione necessaria (non sufficiente): se converge, $a_n \to 0$. Se $a_n \not\to 0$, non converge; se $a_n \to 0$, serve un criterio.
• Termini positivi: criteri del confronto, confronto asintotico, rapporto ($L<1$ converge), radice; termine di paragone la serie $p$ ($\sum 1/n^p$: converge sse $p>1$).
• Segni alterni: criterio di Leibniz ($b_n$ positiva, decrescente, → 0). La convergenza assoluta ($\sum|a_n|$ converge) implica la convergenza; è più forte della convergenza semplice.

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▶️ Prossimo capitolo: Successioni e serie di funzioni; serie di potenze — dalle serie di numeri alle serie di funzioni: convergenza puntuale e uniforme, serie di potenze e sviluppi di Taylor, con cui si rappresentano le funzioni come somme infinite.

In breve

Nel capitolo precedente le serie sommavano numeri. Ora facciamo un salto: sommiamo funzioni. Una serie di funzioni ha per termini non numeri fissi, ma funzioni di $x$: $\sum f_n(x)$. Per ogni valore di $x$ si ottiene una serie numerica, che può convergere o no — quindi la somma è essa stessa una funzione di $x$, definita dove la serie converge. Questo apre una possibilità potentissima: rappresentare funzioni complicate come somme infinite di funzioni semplici. Il caso più importante sono le serie di potenze: $\sum a_n (x-x_0)^n$, somme infinite di potenze di $x$ (polinomi "di grado infinito"). Ogni serie di potenze converge in un intervallo centrato in $x_0$, il cui semiampiezza è il raggio di convergenza. E qui arriva il risultato culminante: molte funzioni note (esponenziale, seno, coseno, logaritmo) sono somme di serie di potenze, i loro sviluppi di Taylor/Maclaurin. Questo permette di approssimare funzioni con polinomi, calcolare valori, risolvere equazioni differenziali. Un tema tecnico ma cruciale è la distinzione tra convergenza puntuale e uniforme, che governa quando si possono "scambiare" limiti, derivate e integrali con la somma infinita. Questo capitolo introduce serie di funzioni, serie di potenze e sviluppi di Taylor.

🎯 Alla fine di questo capitolo saprai: cosa sono una successione e una serie di funzioni e la loro somma come funzione; la differenza tra convergenza puntuale e uniforme e perché conta; le serie di potenze e il raggio di convergenza (come si calcola); la derivazione e integrazione termine a termine; gli sviluppi di Taylor e Maclaurin delle funzioni elementari; l'uso delle serie per approssimare funzioni.

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Dalle funzioni numeriche alle serie di funzioni

Perché conta: il salto da numeri a funzioni è ciò che rende le serie uno strumento per rappresentare e approssimare funzioni.

Una successione di funzioni è una lista $f_1(x), f_2(x), f_3(x), \dots$ dove ogni $f_n$ è una funzione (es. $f_n(x) = x^n$). Una serie di funzioni è la somma infinita $\sum_{n} f_n(x)$.

Il punto-chiave: per ogni valore fissato di $x$, $\sum f_n(x)$ diventa una serie numerica (cap. 1), che converge o no. L'insieme degli $x$ per cui converge è l'insieme di convergenza, e su di esso la somma definisce una funzione:

$S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \qquad (\text{per gli } x \text{ dove la serie converge})$

Così una serie di funzioni produce una funzione somma $S(x)$. L'idea è rappresentare funzioni complicate come somme infinite di funzioni semplici (tipicamente potenze) — con vantaggi enormi per il calcolo e l'approssimazione.

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Convergenza puntuale e uniforme

Perché conta: è la distinzione tecnica che decide quando si possono scambiare limite, derivata e integrale con la somma; sottile ma fondamentale.

Ci sono due modi in cui una serie (o successione) di funzioni può convergere alla funzione somma $S(x)$:

• convergenza puntuale: per ogni $x$ fissato, le somme parziali $S_n(x)$ tendono a $S(x)$. È la convergenza "punto per punto", ciascun $x$ per conto suo (con velocità che può dipendere da $x$);
• convergenza uniforme: le somme parziali tendono a $S(x)$ con velocità uniforme su tutto l'insieme, cioè lo scarto massimo $\sup_x |S_n(x) - S(x)|$ tende a zero. La convergenza è "contemporanea" e omogenea su tutto l'insieme.

La differenza è cruciale perché la convergenza uniforme (più forte) preserva le buone proprietà:

📌 Teoremi (convergenza uniforme). Se una serie di funzioni continue converge uniformemente, allora la funzione somma è continua; inoltre si può integrare termine a termine ($\int \sum = \sum \int$); e, sotto ipotesi appropriate, derivare termine a termine. La sola convergenza puntuale non garantisce questi scambi.

🔗 Analogia. La differenza tra puntuale e uniforme è come quella tra "ogni corridore arriva al traguardo" e "tutti i corridori arrivano entro lo stesso tempo". Nella convergenza puntuale, ogni punto $x$ (ogni "corridore") raggiunge il suo limite $S(x)$, ma alcuni possono metterci molto più di altri: non c'è un tempo comune. Nella convergenza uniforme, esiste un tempo entro cui tutti i punti sono arrivati vicini al limite: la convergenza è coordinata. Questa coordinazione è ciò che permette di "portare il limite dentro" l'integrale o la derivata — operazioni che richiedono un controllo globale, non punto per punto. Senza uniformità, i corridori troppo lenti possono rovinare la festa (una somma di funzioni continue potrebbe dare una funzione discontinua).

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Le serie di potenze e il raggio di convergenza

Perché conta: sono le serie di funzioni più importanti; il raggio di convergenza ne descrive completamente il dominio.

Le serie di funzioni più importanti sono le serie di potenze, dove i termini sono potenze di $(x - x_0)$:

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + \dots$

con $x_0$ il centro e $a_n$ i coefficienti. Sono, in un certo senso, "polinomi di grado infinito". Il loro comportamento è notevolmente regolare:

📌 Teorema (raggio di convergenza). Per ogni serie di potenze esiste un raggio di convergenza $R \in [0, +\infty]$ tale che la serie converge assolutamente per $|x - x_0| < R$ (dentro l'intervallo) e diverge per $|x - x_0| > R$ (fuori). L'insieme di convergenza è dunque un intervallo centrato in $x_0$ (il comportamento agli estremi $x = x_0 \pm R$ va studiato caso per caso).

Il raggio si calcola spesso con i criteri del rapporto o della radice (cap. 1) applicati ai coefficienti:

$\frac{1}{R} = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \qquad \text{oppure} \qquad \frac{1}{R} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$

Dentro l'intervallo di convergenza, una serie di potenze converge uniformemente (su ogni sottointervallo chiuso) e definisce una funzione infinitamente derivabile, che si può derivare e integrare termine a termine (ottenendo serie di potenze con lo stesso raggio $R$). È una proprietà eccezionale che rende le serie di potenze uno strumento potentissimo.

🧩 Esempio. La serie $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots$ ha raggio $R = +\infty$ (col criterio del rapporto: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{n+1} \to 0$, quindi $1/R = 0$, $R=\infty$): converge per ogni $x$. La sua somma è la funzione esponenziale $e^x$ (v. sotto). Derivandola termine a termine si riottiene se stessa — coerente con $(e^x)' = e^x$.

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Gli sviluppi di Taylor e Maclaurin

Perché conta: è il risultato culminante — molte funzioni note SONO serie di potenze; lo strumento per approssimare e calcolare.

Se una serie di potenze definisce una funzione, ci si può chiedere il viceversa: una funzione "nota" (esponenziale, seno…) può essere scritta come serie di potenze? La risposta è la serie di Taylor.

📌 Definizione formale. Se $f$ è infinitamente derivabile in $x_0$, la sua serie di Taylor (centrata in $x_0$) è: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \dots$ Quando $x_0 = 0$ si chiama serie di Maclaurin. Se questa serie converge a $f(x)$, si dice che $f$ è sviluppabile in serie di Taylor.

Gli sviluppi di Maclaurin delle funzioni elementari (da conoscere) valgono per ogni $x$ (le prime tre) o nell'intervallo indicato:

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}, \qquad \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \qquad \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \ (|x|<1), \qquad \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} \ (|x|<1)$

Questi sviluppi permettono di approssimare una funzione con un polinomio (troncando la serie): l'approssimazione è tanto migliore quanti più termini si prendono, ed è la base del calcolo numerico dei valori delle funzioni (come fa una calcolatrice) e di molte tecniche analitiche.

⚠️ Attenzione. Riprende e generalizza il polinomio di Taylor di Analisi I: là si approssimava $f$ con un polinomio di grado $n$ più un resto; qui la serie (grado "infinito") coincide con $f$ dove converge. Attenzione però: non tutte le funzioni infinitamente derivabili sono sviluppabili in serie di Taylor (esistono funzioni la cui serie di Taylor converge, ma non alla funzione). Serve che il resto tenda a zero. Le funzioni elementari qui elencate, comunque, sono sviluppabili.

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🗺️ Come si collega il tutto

Questo capitolo estende le serie numeriche (cap. 1) alle serie di funzioni, culminando nelle serie di potenze e negli sviluppi di Taylor — che riprendono e completano il polinomio di Taylor di Analisi I. I criteri di convergenza (cap. 1, rapporto/radice) servono a calcolare il raggio di convergenza. La distinzione puntuale/uniforme governa la derivazione e integrazione termine a termine, strumenti usati nell'analisi. Le serie di potenze sono un metodo per risolvere equazioni differenziali (cap. 11-12) e rappresentare le soluzioni. L'idea di approssimare funzioni con polinomi è centrale in tutta la matematica applicata e numerica dell'ingegneria. Base: serie numeriche (cap. 1), derivate e polinomio di Taylor (Analisi I).

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🔑 Concetti chiave

Termine	In una frase	Da non confondere con
Serie di funzioni	Somma infinita di funzioni; la somma è una funzione di $x$	Serie numerica (somma di numeri)
Convergenza puntuale	Per ogni $x$ le somme parziali tendono a $S(x)$	Uniforme (velocità omogenea su tutto l'insieme)
Convergenza uniforme	Scarto massimo → 0; preserva continuità, integrazione, derivazione	Puntuale (più debole)
Serie di potenze	$\sum a_n(x-x_0)^n$: converge in un intervallo	Serie di funzioni generica
Raggio di convergenza $R$	Semiampiezza dell'intervallo: converge se $\|x-x_0\|<R$	—
Serie di Taylor/Maclaurin	$\sum \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$: la funzione come serie di potenze	Polinomio di Taylor (troncamento finito)

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📝 Riepilogo

• Una serie di funzioni $\sum f_n(x)$ ha per somma una funzione $S(x)$, definita dove la serie (numerica, per ogni $x$) converge.
• Convergenza puntuale (punto per punto) vs uniforme (velocità omogenea su tutto l'insieme). L'uniforme (più forte) preserva la continuità e permette di integrare/derivare termine a termine.
• Le serie di potenze $\sum a_n(x-x_0)^n$ convergono in un intervallo centrato in $x_0$ di semiampiezza il raggio di convergenza $R$ ($1/R = \lim|a_{n+1}/a_n|$ o $\lim\sqrt[n]{|a_n|}$). Dentro l'intervallo sono infinitamente derivabili e si derivano/integrano termine a termine.
• La serie di Taylor ($\sum \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$; Maclaurin se $x_0=0$) rappresenta $f$ come serie di potenze. Sviluppi noti: $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ (per ogni $x$), $\frac{1}{1-x}$, $\ln(1+x)$ ($|x|<1$). Permettono di approssimare funzioni con polinomi.

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▶️ Prossimo capitolo: Funzioni di più variabili: topologia, limiti, continuità — il grande salto al multidimensionale: funzioni che dipendono da più variabili, la topologia dello spazio $\mathbb{R}^n$, limiti e continuità in più dimensioni.

In breve

Fin qui, in Analisi I, le funzioni prendevano un numero e ne restituivano un numero: $y = f(x)$. Ma la realtà quasi mai dipende da una sola grandezza. La temperatura in una stanza dipende da dove ti trovi — tre coordinate $(x,y,z)$. Il costo di produzione dipende da quante unità di più fattori usi. La pressione di un gas dipende da volume e temperatura. Servono funzioni che prendono più numeri in ingresso: $f(x,y)$, $f(x,y,z)$, in generale $f$ di un punto di $\mathbb{R}^n$. Questo è il grande salto di Analisi II: dal calcolo in una variabile al calcolo in più variabili. Prima di poter derivare e integrare in questo mondo nuovo, dobbiamo ricostruire le fondamenta: cos'è lo spazio $\mathbb{R}^n$ in cui vivono i punti (distanza, intorni, insiemi aperti/chiusi: la topologia), come si disegna una funzione di due variabili (grafici come superfici, curve di livello), e soprattutto cosa vuol dire che una funzione ha un limite o è continua quando ci si può avvicinare a un punto da infinite direzioni — non più solo "da destra" e "da sinistra". Proprio questa libertà di direzione rende i limiti in più variabili più sottili e interessanti. Questo capitolo prepara il terreno per il calcolo differenziale dei capitoli successivi.

🎯 Alla fine di questo capitolo saprai: cosa sono lo spazio $\mathbb{R}^n$, la norma e la distanza euclidea; il vocabolario della topologia (intorno, punto interno/di frontiera/di accumulazione, insieme aperto, chiuso, limitato, compatto); cosa sono i campi scalari $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ e come visualizzarli (grafico, insiemi di livello); la definizione di limite e continuità in più variabili; perché per negare un limite basta trovare due direzioni con limiti diversi (restrizioni a rette e curve, coordinate polari).

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Lo spazio $\mathbb{R}^n$: dove vivono i punti

Perché conta: prima di parlare di limiti e continuità serve un'idea precisa di "vicinanza" tra punti. In una variabile bastava il valore assoluto; in più variabili serve la distanza euclidea.

Un punto di $\mathbb{R}^n$ è una lista ordinata di $n$ numeri reali: $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)$. Per $n=2$ è un punto del piano $(x,y)$; per $n=3$ un punto dello spazio $(x,y,z)$. Su questi punti si definisce la norma euclidea (la "lunghezza" del vettore, cioè la distanza dall'origine):

$\|\mathbf{x}\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$

e da essa la distanza tra due punti $\mathbf{x}$ e $\mathbf{y}$:

$d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + \dots + (x_n-y_n)^2}$

📌 Definizione formale. In $\mathbb{R}^2$: $d\big((x_1,y_1),(x_2,y_2)\big) = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}$. È il teorema di Pitagora: la distanza è l'ipotenusa del triangolo con cateti le differenze delle coordinate.

🔗 Analogia. La distanza è il "righello" dello spazio: dice quanto sono lontani due punti. Tutto il resto (intorni, limiti, continuità) si costruisce a partire da essa, esattamente come in una variabile tutto si costruiva a partire da $|x-x_0|$.

Con la distanza definiamo la palla (o disco, in $\mathbb{R}^2$) di centro $\mathbf{x}_0$ e raggio $r>0$: l'insieme dei punti a distanza minore di $r$ da $\mathbf{x}_0$.

$B_r(\mathbf{x}_0) = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < r\}$

In $\mathbb{R}$ è un intervallo aperto $(x_0-r, x_0+r)$; in $\mathbb{R}^2$ è un cerchio pieno (senza bordo); in $\mathbb{R}^3$ una sfera piena. Questa palla è l'intorno di $\mathbf{x}_0$: il generalizzatore multidimensionale dell'intervallo $(x_0-\delta, x_0+\delta)$.

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Il vocabolario della topologia

Perché conta: i teoremi di Analisi II hanno ipotesi del tipo "sia $A$ aperto", "sia $K$ compatto". Servono le parole giuste per descrivere gli insiemi.

Dato un insieme $A \subseteq \mathbb{R}^n$ e un punto $\mathbf{x}_0$, si distinguono tre "posizioni":

• Punto interno: esiste una palla $B_r(\mathbf{x}_0)$ tutta contenuta in $A$. Il punto è "circondato" da $A$, sta dentro con un margine.
• Punto di frontiera (o di bordo): ogni palla attorno a $\mathbf{x}_0$, per quanto piccola, contiene sia punti di $A$ sia punti fuori da $A$. Il punto sta "sul confine".
• Punto esterno: esiste una palla attorno a $\mathbf{x}_0$ tutta fuori da $A$.

🧩 Esempio. Sia $A$ il disco $x^2+y^2 < 1$ (cerchio senza bordo). L'origine è interna; un punto con $x^2+y^2=1$ (sul cerchio) è di frontiera; un punto con $x^2+y^2=4$ è esterno.

Da queste nozioni nascono le definizioni-chiave:

📌 Definizione formale.

• Un insieme è aperto se tutti i suoi punti sono interni (contiene un intorno di ciascun suo punto). Es. il disco $x^2+y^2<1$.
• Un insieme è chiuso se contiene tutti i suoi punti di frontiera (equivalentemente: il suo complementare è aperto). Es. il disco $x^2+y^2\le 1$.
• Un insieme è limitato se sta dentro una palla abbastanza grande (le sue coordinate non vanno all'infinito).
• Un insieme è compatto se è chiuso e limitato (in $\mathbb{R}^n$; è la caratterizzazione di Heine-Borel).

⚠️ Attenzione. "Aperto" e "chiuso" non sono opposti come in italiano comune. Un insieme può essere né aperto né chiuso (es. il semipiano $x^2+y^2\le 1$ con un pezzo di bordo tolto), e $\mathbb{R}^n$ e l'insieme vuoto sono entrambi aperti e chiusi. Non farti trarre in inganno dal linguaggio quotidiano.

Un altro concetto essenziale per i limiti:

📌 Definizione formale. $\mathbf{x}_0$ è punto di accumulazione di $A$ se ogni palla attorno a $\mathbf{x}_0$ contiene almeno un punto di $A$ diverso da $\mathbf{x}_0$. Significa: ci si può avvicinare a $\mathbf{x}_0$ restando dentro $A$. È qui — e solo qui — che ha senso fare il limite.

🔗 Analogia. Un punto di accumulazione è un punto "raggiungibile da vicino" restando nell'insieme: come una città verso cui puoi avvicinarti quanto vuoi senza mai uscire dalla regione. Se un punto è isolato (staccato da tutto), non ha senso chiedersi "cosa fa la funzione avvicinandosi": non ci si può avvicinare.

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Campi scalari e come visualizzarli

Perché conta: una funzione di due variabili non si disegna su un piano ma nello spazio. Saperla "vedere" aiuta l'intuizione su limiti, massimi e minimi.

Una funzione $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ che a ogni punto associa un numero si chiama campo scalare. Esempi: la temperatura $T(x,y,z)$ in ogni punto di una stanza; l'altitudine $h(x,y)$ di ogni punto di una mappa geografica.

Come si visualizza $f(x,y)$ (due variabili)? Due strumenti complementari:

1. Il grafico è l'insieme dei punti $(x, y, f(x,y))$ nello spazio $\mathbb{R}^3$: una superficie che sta "sopra" il piano $xy$, con l'altezza pari al valore della funzione. Es. $f(x,y)=x^2+y^2$ è un paraboloide (una coppa); $f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}$ è una semisfera.

2. Gli insiemi di livello (o curve di livello, in 2D): fissato un valore $c$, l'insieme $\{(x,y): f(x,y)=c\}$ dei punti dove la funzione vale esattamente $c$.

🔗 Analogia. Le curve di livello sono le isoipse delle mappe topografiche: le linee che uniscono i punti alla stessa quota. Curve fitte = pendio ripido; curve rade = terreno pianeggiante. Le isobare delle carte meteo e le isoterme sono la stessa idea. Tagli la superficie con piani orizzontali $z=c$ e proietti a terra le sezioni.

🧩 Esempio. Per $f(x,y)=x^2+y^2$, le curve di livello $x^2+y^2=c$ sono circonferenze concentriche (di raggio $\sqrt c$), sempre più distanziate salendo lentamente e... in realtà sempre più fitte man mano che $c$ cresce, segno che la coppa diventa più ripida allontanandosi dal centro.

In tre variabili, $f(x,y,z)=c$ dà superfici di livello (es. le superfici a temperatura costante attorno a una sorgente di calore).

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Limite in più variabili

Perché conta: derivate, continuità e integrali poggiano tutti sul concetto di limite. In più variabili il limite ha una novità radicale: le direzioni di avvicinamento sono infinite.

L'idea è identica a quella di una variabile: $f(\mathbf{x})$ tende a $L$ quando $\mathbf{x}$ si avvicina a $\mathbf{x}_0$ se i valori $f(\mathbf{x})$ si stringono attorno a $L$ man mano che $\mathbf{x}$ si avvicina. La definizione formale è la traduzione parola per parola, con la distanza al posto del valore assoluto:

📌 Definizione formale. $\displaystyle\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0} f(\mathbf{x}) = L$ se per ogni $\varepsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che

$0 < \|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \delta \implies |f(\mathbf{x}) - L| < \varepsilon.$

A parole: comunque piccola sia la tolleranza $\varepsilon$ sull'uscita, esiste un raggio $\delta$ tale che per tutti i punti (diversi da $\mathbf{x}_0$) entro quel raggio, il valore di $f$ dista da $L$ meno di $\varepsilon$.

⚠️ Attenzione — il cuore della differenza. In una variabile, avvicinarsi a $x_0$ si può fare solo in due modi: da sinistra e da destra (limite destro e sinistro). In più variabili ci si avvicina a $\mathbf{x}_0$ da infinite direzioni — lungo rette di ogni pendenza, lungo parabole, lungo spirali. La definizione richiede che $f$ tenda a uno stesso $L$ qualunque sia il modo di avvicinarsi. Basta una sola strada che dia un valore diverso perché il limite non esista.

🔗 Analogia. Immagina di avvicinarti a una vetta con la nebbia da tutte le direzioni possibili. Il limite esiste solo se, comunque tu ti avvicini, la quota che leggi tende sempre allo stesso numero. Se avvicinandoti da nord leggi 100 m e da est leggi 150 m, non c'è un'unica "quota limite": il limite non esiste.

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Come si nega un limite: il metodo delle restrizioni

Perché conta: dimostrare che un limite non esiste è spesso più frequente (e più facile) che calcolarlo. La strategia è sfruttare la libertà di direzione.

Idea operativa. Se restringiamo $f$ a una curva che passa per $\mathbf{x}_0$ (per esempio una retta), otteniamo una funzione di una variabile, di cui sappiamo fare il limite. Se il limite del limite globale esistesse, dovrebbe coincidere con quello su ogni curva. Quindi:

Se due percorsi diversi verso $\mathbf{x}_0$ danno limiti diversi, il limite globale non esiste.

🧩 Esempio classico. $\displaystyle f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ nel punto $(0,0)$.

• Lungo l'asse $x$ (cioè $y=0$): $f(x,0) = \frac{0}{x^2} = 0 \to 0$.
• Lungo l'asse $y$ (cioè $x=0$): $f(0,y) = 0 \to 0$.
• Ma lungo la retta $y=x$: $f(x,x) = \frac{x\cdot x}{x^2+x^2} = \frac{x^2}{2x^2} = \frac12$, costante $\to \frac12$.

Due direzioni ($y=0$ e $y=x$) danno limiti diversi ($0$ e $\frac12$): il limite in $(0,0)$ non esiste. Nota che le sole restrizioni agli assi non bastavano a rivelarlo — ecco perché bisogna provare rette generiche $y=mx$.

⚠️ Attenzione. Che tutte le rette diano lo stesso limite non basta a garantire che il limite esista: potrebbe fallire lungo una parabola o un'altra curva. Esempio: $f(x,y)=\frac{x^2 y}{x^4+y^2}$ tende a $0$ lungo ogni retta per l'origine, ma lungo la parabola $y=x^2$ vale $\frac{x^4}{2x^4}=\frac12$: il limite non esiste. Le restrizioni servono a negare, non a confermare.

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Come si conferma un limite: maggiorazioni e coordinate polari

Perché conta: per dimostrare che un limite vale $L$ non basta provare qualche direzione; serve un controllo valido per tutti i punti vicini. Due tecniche standard.

Tecnica 1 — maggiorazione (teorema del confronto). Si stima $|f(\mathbf{x}) - L|$ con una quantità che dipende solo dalla distanza $\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\|$ e che tende a $0$. Se

$|f(\mathbf{x}) - L| \le g\big(\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\|\big) \quad\text{con}\quad g(r)\to 0,$

allora $f\to L$, perché il controllo è uniforme rispetto alla direzione.

Tecnica 2 — coordinate polari (in $\mathbb{R}^2$, attorno all'origine). Si pone $x=\rho\cos\theta$, $y=\rho\sin\theta$: $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$ è la distanza dall'origine, $\theta$ l'angolo (la direzione). Avvicinarsi all'origine significa $\rho \to 0$. Se, riscritta $f$, si riesce a maggiorare $|f - L|$ con una funzione del solo $\rho$ che tende a $0$ indipendentemente da $\theta$, il limite è $L$.

🧩 Esempio. $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3}{x^2+y^2}$. In polari: $\frac{\rho^3\cos^3\theta}{\rho^2} = \rho\cos^3\theta$. Poiché $|\cos^3\theta|\le 1$, si ha $|\rho\cos^3\theta| \le \rho \to 0$ per $\rho\to 0$, qualunque sia $\theta$. Quindi il limite vale $0$.

⚠️ Attenzione. Perché le coordinate polari concludano, la maggiorazione deve essere uniforme in $\theta$: la stima finale deve dipendere solo da $\rho$. Se resta un fattore che dipende da $\theta$ e non è limitato (o dipende dal modo in cui $\rho$ e $\theta$ vanno insieme a zero), il metodo non conclude e va sospettata la non-esistenza.

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Continuità in più variabili

Perché conta: la continuità è la proprietà "minima" che rende una funzione trattabile; è ipotesi di quasi tutti i teoremi (Weierstrass, integrabilità). In più variabili è la naturale estensione del limite.

📌 Definizione formale. $f$ è continua in $\mathbf{x}_0$ (punto di accumulazione del dominio, in cui $f$ è definita) se

$\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0} f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}_0).$

Cioè il limite esiste e coincide col valore della funzione. $f$ è continua su un insieme se lo è in ogni suo punto. Intuitivamente: la superficie-grafico non ha "strappi", "buchi" o "salti".

Le buone notizie, identiche a una variabile:

• somme, prodotti, quozienti (dove il denominatore non si annulla) e composizioni di funzioni continue sono continue;
• di conseguenza tutte le funzioni costruite con polinomi, esponenziali, logaritmi, seno, coseno, radici in più variabili sono continue nel loro dominio naturale. Es. $f(x,y)=e^{x^2+y^2}\sin(xy)$ è continua ovunque.

Perciò il problema di continuità è delicato solo nei punti dove la definizione "cambia" o dove qualcosa si annulla — tipicamente le funzioni definite a tratti, con un valore assegnato a parte in un punto (es. l'origine). Lì si torna a studiare il limite con le tecniche viste.

🧩 Esempio. $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ per $(x,y)\ne(0,0)$ e $f(0,0)=0$. Ovunque tranne l'origine è un quoziente di polinomi con denominatore non nullo: continua. Nell'origine abbiamo visto che il limite non esiste: quindi $f$ non è continua in $(0,0)$, per quanto le si assegni valore $0$. È una discontinuità non eliminabile.

Un risultato fondamentale che eredita le ipotesi topologiche introdotte sopra:

📌 Teorema di Weierstrass (più variabili). Una funzione continua su un insieme compatto (chiuso e limitato) ammette massimo e minimo (assoluti). È la garanzia che l'ottimizzazione del capitolo 5 ha soluzione: su un dominio compatto, i massimi e minimi esistono davvero.

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🗺️ Come si collega il tutto

Questo capitolo è il ponte tra il calcolo in una variabile (Analisi I) e tutto ciò che segue. Abbiamo ricostruito le fondamenta: lo spazio $\mathbb{R}^n$ con la sua distanza, il vocabolario topologico (aperto, chiuso, compatto, accumulazione) che fornisce le ipotesi dei teoremi, la visualizzazione dei campi scalari (grafici come superfici, curve di livello), e i concetti di limite e continuità con la loro novità cruciale — le infinite direzioni di avvicinamento. Le curve di livello torneranno nel capitolo 4 legate al gradiente (che è loro perpendicolare). La compattezza e Weierstrass sono la base dell'ottimizzazione (cap. 5). La distanza e gli intorni sono il linguaggio con cui si definiscono le derivate parziali e la differenziabilità (cap. 4). E la topologia degli insiemi (aperti, domini regolari) tornerà a definire su quali regioni si può integrare (cap. 6-7). Da qui in poi il calcolo diventa multidimensionale.

🔑 Concetti chiave

Termine	In una frase	Da non confondere con
Norma / distanza euclidea	Lunghezza di un vettore / lontananza tra due punti in $\mathbb{R}^n$	Valore assoluto (è il caso $n=1$)
Intorno (palla)	Insieme dei punti a distanza $<r$ da un centro	Curva di livello (insieme dove $f$ è costante)
Insieme aperto / chiuso	Tutti punti interni / contiene la frontiera	Non sono opposti: esistono insiemi né l'uno né l'altro
Insieme compatto	Chiuso e limitato (Heine-Borel)	Solo chiuso o solo limitato (non basta)
Punto di accumulazione	Ci si può avvicinare restando nell'insieme	Punto isolato (staccato, niente limite)
Campo scalare	$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$: a un punto associa un numero	Campo vettoriale (associa un vettore, cap. 9)
Curva di livello	Luogo dove $f(x,y)=c$ (isoipsa)	Grafico (superficie in $\mathbb{R}^3$)
Limite in più variabili	Stesso valore da ogni direzione	Limite in una variabile (solo destra/sinistra)
Continuità	$\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0} f = f(\mathbf{x}_0)$	Sola esistenza del limite (serve anche $=$ valore)

📝 Riepilogo

• I punti vivono in $\mathbb{R}^n$, dotato di norma e distanza euclidea; la palla $B_r(\mathbf{x}_0)$ è l'intorno che generalizza l'intervallo.
• La topologia dà le parole per gli insiemi: interno/frontiera, aperto (tutti interni), chiuso (contiene la frontiera), limitato, compatto (= chiuso e limitato), punto di accumulazione (dove ha senso il limite).
• Un campo scalare $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ si visualizza col grafico (superficie) e con gli insiemi di livello (isoipse); in 3D superfici di livello.
• Il limite ha la stessa definizione $\varepsilon$-$\delta$ (con la distanza), ma richiede lo stesso valore da infinite direzioni: per negarlo bastano due percorsi (rette, parabole) con limiti diversi; per confermarlo servono maggiorazioni uniformi o coordinate polari con stima nel solo $\rho$.
• La continuità è $\lim f = f(\mathbf{x}_0)$; polinomi, esp., log, seno/coseno e loro combinazioni/composizioni sono continui; i casi delicati sono le funzioni definite a tratti. Su un compatto una funzione continua ha massimo e minimo (Weierstrass).

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▶️ Prossimo capitolo: Calcolo differenziale in più variabili — derivate parziali, gradiente, differenziabilità e piano tangente: come si "deriva" una funzione che dipende da più variabili, e perché derivare in ogni direzione non basta a garantire la differenziabilità.

In breve

In una variabile, derivare significava misurare la pendenza della funzione: quanto cambia $y$ per una piccola variazione di $x$. In più variabili la funzione dipende da tante grandezze contemporaneamente, e la domanda diventa: rispetto a quale variabile deriviamo? La risposta è la derivata parziale: si deriva rispetto a una variabile alla volta, tenendo le altre ferme come se fossero costanti. Le derivate parziali, messe insieme in un vettore, formano il gradiente — un oggetto centrale di Analisi II che punta nella direzione di massima crescita della funzione. Ma qui arriva un fatto sottile e importante: in più variabili avere tutte le derivate parziali (o anche tutte le derivate in ogni direzione) non basta a garantire che la funzione si comporti bene, cioè che sia ben approssimabile da un "piano". La proprietà giusta e forte è la differenziabilità: significa che vicino a un punto la funzione è ben approssimata da una funzione lineare — il suo piano tangente. Da queste basi discendono gli strumenti operativi: la derivata direzionale (pendenza in una direzione qualsiasi, calcolata col gradiente), la regola della catena in più variabili, e le derivate di ordine superiore con la matrice Hessiana che servirà per i massimi e minimi. Questo capitolo costruisce l'apparato del calcolo differenziale multidimensionale.

🎯 Alla fine di questo capitolo saprai: cosa sono le derivate parziali e come si calcolano; cos'è il gradiente e perché indica la direzione di massima pendenza; la differenza fondamentale tra avere derivate parziali ed essere differenziabile (e il piano tangente); la derivata direzionale e la formula $D_{\mathbf{v}}f = \nabla f \cdot \mathbf{v}$; la regola della catena in più variabili; le derivate seconde, il teorema di Schwarz e la matrice Hessiana.

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Derivate parziali: derivare una variabile alla volta

Perché conta: è il mattone di tutto il calcolo differenziale multivariabile. L'idea è ridurre il problema multidimensionale a tanti problemi in una variabile.

Data $f(x,y)$, la derivata parziale rispetto a $x$ misura come cambia $f$ quando muoviamo solo $x$, tenendo $y$ fisso. Operativamente: si tratta $y$ come una costante e si deriva in $x$ con le regole di Analisi I.

📌 Definizione formale. $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h,\,y_0) - f(x_0,y_0)}{h}$ e analogamente $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ muovendo solo $y$. Si scrivono anche $f_x$, $f_y$.

🔗 Analogia. Immagina la superficie-grafico come una collina. $f_x$ è la pendenza che senti camminando verso est (asse $x$), tenendo fissa la latitudine; $f_y$ la pendenza camminando verso nord. Sono due pendenze diverse nello stesso punto, secondo la direzione in cui ti muovi.

🧩 Esempio. $f(x,y) = x^2 y + \sin(xy)$.

• $f_x = 2xy + y\cos(xy)$ (deriviamo in $x$, $y$ costante: $x^2y\to 2xy$; $\sin(xy)\to \cos(xy)\cdot y$).
• $f_y = x^2 + x\cos(xy)$ (deriviamo in $y$, $x$ costante).

Il procedimento si estende identico a tre o più variabili: $\frac{\partial f}{\partial z}$ tiene ferme $x,y$, ecc.

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Il gradiente

Perché conta: raccoglie tutta l'informazione differenziale del primo ordine in un unico vettore, con un significato geometrico potentissimo. È l'oggetto che userai per direzioni di crescita, piani tangenti e ottimizzazione.

📌 Definizione formale. Il gradiente di $f$ nel punto $\mathbf{x}_0$ è il vettore delle derivate parziali:

$\nabla f(\mathbf{x}_0) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)\Bigg|_{\mathbf{x}_0}$

In due variabili: $\nabla f = (f_x,\, f_y)$. Il simbolo $\nabla$ si legge "nabla".

Il gradiente ha due proprietà geometriche fondamentali:

1. Punta nella direzione di massima crescita di $f$. Se stai su una collina, $\nabla f$ indica la direzione in cui la salita è più ripida, e la sua lunghezza $\|\nabla f\|$ è quanto vale quella pendenza massima.
2. È perpendicolare alle curve (superfici) di livello. Ha senso: lungo una curva di livello $f$ non cambia, quindi la direzione di massima variazione dev'essere ortogonale ad essa.

🔗 Analogia. Sulla mappa topografica del capitolo 3, il gradiente in ogni punto è la freccia che punta "su per il pendio più ripido", sempre a 90° rispetto all'isoipsa che passa lì. L'acqua che scende segue la direzione opposta, $-\nabla f$ (massima discesa): è il principio dei metodi di discesa del gradiente in ottimizzazione numerica e machine learning.

🧩 Esempio. $f(x,y)=x^2+y^2$, $\nabla f = (2x, 2y)$. In un punto $(x_0,y_0)$ il gradiente punta radialmente verso l'esterno (lontano dall'origine): infatti allontanandosi dal centro la coppa cresce, ed è perpendicolare alle circonferenze di livello.

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Il salto concettuale: differenziabilità

Perché conta: è la differenza più importante e insidiosa tra Analisi I e II. In una variabile "derivabile" e "ben approssimabile" coincidevano; in più variabili no.

In una variabile, se $f$ è derivabile in $x_0$, allora vicino a $x_0$ è ben approssimata dalla retta tangente: $f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$. Derivabilità e "buona approssimazione lineare" erano la stessa cosa.

In più variabili questo crolla. Si può avere una funzione con tutte le derivate parziali (anzi, con derivata in ogni direzione) nell'origine, che però non è nemmeno continua lì, e certamente non ha un piano tangente sensato. Le derivate parziali guardano solo lungo gli assi (e le direzionali lungo le rette): non "vedono" cosa succede avvicinandosi lungo curve. Serve una condizione più forte.

📌 Definizione formale. $f$ è differenziabile in $\mathbf{x}_0$ se esiste un vettore $\mathbf{g}$ (che risulta essere $\nabla f(\mathbf{x}_0)$) tale che, per $\mathbf{h}\to\mathbf{0}$, $f(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}) = f(\mathbf{x}_0) + \mathbf{g}\cdot\mathbf{h} + o(\|\mathbf{h}\|).$ Cioè l'incremento di $f$ è approssimato dalla parte lineare $\nabla f\cdot\mathbf{h}$, con un errore che va a zero più in fretta della distanza $\|\mathbf{h}\|$.

Geometricamente, differenziabile significa che il grafico ha un vero piano tangente in quel punto:

$z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0).$

Le relazioni corrette (da tenere ben distinte):

• differenziabile $\implies$ continua e $\implies$ esistono tutte le derivate parziali (che formano il gradiente);
• esistono le derivate parziali $\;\not\!\!\!\implies$ differenziabile (e nemmeno continua!);
• ma c'è un criterio pratico salvavita: se le derivate parziali esistono in un intorno e sono continue in $\mathbf{x}_0$ (funzione di classe $C^1$), allora $f$ è differenziabile. Nella pratica quasi tutte le funzioni "normali" (combinazioni di elementari) sono $C^1$, quindi differenziabili senza doverlo verificare a mano.

⚠️ Attenzione. Non confondere le tre proprietà: derivate parziali (guardano gli assi) < derivate direzionali in ogni direzione (guardano le rette) < differenziabilità (piano tangente, la più forte). In più variabili la scala è stretta: si può stare a un gradino senza salire al successivo. È l'errore concettuale più frequente del corso.

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Derivata direzionale

Perché conta: le derivate parziali danno la pendenza solo lungo gli assi. Spesso serve la pendenza in una direzione qualunque — ed è lì che il gradiente mostra la sua potenza.

📌 Definizione formale. La derivata direzionale di $f$ in $\mathbf{x}_0$ lungo un versore $\mathbf{v}$ (vettore di lunghezza 1) è $D_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x}_0) = \lim_{t\to 0}\frac{f(\mathbf{x}_0 + t\mathbf{v}) - f(\mathbf{x}_0)}{t}:$ la pendenza di $f$ muovendosi nella direzione $\mathbf{v}$.

Il risultato-chiave, valido se $f$ è differenziabile:

$\boxed{\,D_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x}_0) = \nabla f(\mathbf{x}_0)\cdot\mathbf{v}\,}$

la derivata direzionale è il prodotto scalare tra gradiente e direzione. Una formula sola dà la pendenza in ogni direzione, a partire dalle sole derivate parziali.

Da qui si legge subito il significato del gradiente: essendo $\nabla f\cdot\mathbf{v} = \|\nabla f\|\,\|\mathbf{v}\|\cos\vartheta = \|\nabla f\|\cos\vartheta$ (con $\|\mathbf v\|=1$), la derivata direzionale è massima quando $\vartheta=0$, cioè $\mathbf{v}$ è allineato a $\nabla f$: si ritrova che il gradiente è la direzione di massima crescita e $\|\nabla f\|$ è quella pendenza massima. Nella direzione perpendicolare ($\vartheta=90°$) la derivata è nulla: sono le direzioni delle curve di livello.

🧩 Esempio. $f(x,y)=x^2+y^2$ in $(1,1)$: $\nabla f=(2,2)$. Pendenza verso $\mathbf{v}=\big(\tfrac{1}{\sqrt2},\tfrac{1}{\sqrt2}\big)$ (nord-est): $D_{\mathbf v}f = 2\cdot\tfrac1{\sqrt2}+2\cdot\tfrac1{\sqrt2}=\tfrac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2$. È la pendenza massima, perché $\mathbf v$ è proprio la direzione del gradiente.

⚠️ Attenzione. La formula $D_{\mathbf v}f=\nabla f\cdot\mathbf v$ vale solo se $f$ è differenziabile. Per funzioni non differenziabili le derivate direzionali possono esistere ma non essere date da questo prodotto scalare (o non dipendere linearmente da $\mathbf v$). E il versore dev'essere di lunghezza 1, altrimenti la "pendenza" risulta riscalata.

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Regola della catena in più variabili

Perché conta: serve ogni volta che le variabili di $f$ dipendono a loro volta da altri parametri — cambi di coordinate, moto lungo una traiettoria, funzioni composte. È lo strumento operativo più usato.

Caso base — funzione lungo una curva. Se $x=x(t)$, $y=y(t)$ (una traiettoria nel tempo) e $g(t)=f(x(t),y(t))$, allora

$\frac{dg}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} = \nabla f \cdot \big(x'(t), y'(t)\big).$

A parole: la variazione totale è la somma dei contributi di ogni variabile (derivata parziale $\times$ velocità di quella variabile). È il prodotto scalare tra il gradiente e il vettore velocità.

🧩 Esempio. $f(x,y)=x^2 y$, con $x(t)=\cos t$, $y(t)=\sin t$. Allora $\frac{dg}{dt} = 2xy\cdot(-\sin t) + x^2\cdot\cos t = 2\cos t\sin t(-\sin t)+\cos^2 t\cos t = -2\cos t\sin^2 t + \cos^3 t$.

Caso generale (più variabili intermedie): se $f$ dipende da $u,v$ che dipendono da $s,t$, si sommano i cammini: $\frac{\partial f}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial s},$ e analogamente per $\partial/\partial t$. La regola: si sommano tutti i "percorsi" attraverso cui $s$ influenza $f$.

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Derivate di ordine superiore, Schwarz e Hessiana

Perché conta: le derivate seconde misurano la curvatura e sono la chiave per distinguere massimi, minimi e selle (cap. 5). L'Hessiana è la loro organizzazione.

Derivando di nuovo le derivate parziali si ottengono le derivate seconde. In due variabili sono quattro: $f_{xx}$, $f_{yy}$ (derivare due volte la stessa variabile) e le miste $f_{xy}$ (prima in $x$ poi in $y$) e $f_{yx}$ (viceversa).

📌 Teorema di Schwarz. Se le derivate miste seconde esistono e sono continue in un intorno del punto (funzione di classe $C^2$), allora l'ordine di derivazione non conta: $f_{xy} = f_{yx}.$ Nella pratica, per tutte le funzioni regolari, le miste sono uguali.

Le derivate seconde si organizzano nella matrice Hessiana (simmetrica, per Schwarz):

$H_f = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}$

🔗 Analogia. Se il gradiente è la "pendenza" (analogo di $f'$), l'Hessiana è la "concavità" multidimensionale (analogo di $f''$): dice come si incurva la superficie in ogni combinazione di direzioni. Come in una variabile $f''>0$ indicava concavità verso l'alto (minimo), il segno dell'Hessiana (i suoi autovalori) distinguerà minimi, massimi e selle nel prossimo capitolo.

🧩 Esempio. $f(x,y)=x^2y$: $f_x=2xy,\ f_y=x^2$; $f_{xx}=2y,\ f_{yy}=0,\ f_{xy}=2x=f_{yx}$ (Schwarz confermato). $H_f=\begin{pmatrix} 2y & 2x \\ 2x & 0\end{pmatrix}$.

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🗺️ Come si collega il tutto

Il calcolo differenziale in più variabili estende la derivata di Analisi I, ma con una novità concettuale che non ha analogo in una dimensione: la distinzione tra derivate parziali (informazione lungo gli assi) e differenziabilità (vera approssimazione lineare, piano tangente). Il gradiente unifica le derivate parziali in un vettore con significato geometrico — direzione di massima crescita, perpendicolare alle curve di livello del capitolo 3 — e attraverso la formula $D_{\mathbf v}f=\nabla f\cdot\mathbf v$ dà la pendenza in ogni direzione. Il gradiente, annullandosi, individuerà i punti critici, e l'Hessiana ne classificherà la natura: è tutto il capitolo 5 (ottimizzazione). La regola della catena tornerà nei cambi di coordinate degli integrali multipli (cap. 6-7) e nelle equazioni differenziali. Il gradiente riapparirà come campo vettoriale conservativo (cap. 9) e nei teoremi integrali (cap. 10), dove $\nabla$ genera divergenza e rotore. Qui abbiamo costruito gli strumenti; ora si usano.

🔑 Concetti chiave

Termine	In una frase	Da non confondere con
Derivata parziale $f_x$	Pendenza muovendo una sola variabile, le altre ferme	Derivata direzionale (direzione qualsiasi)
Gradiente $\nabla f$	Vettore delle derivate parziali; punta alla massima crescita	Derivata direzionale (è uno scalare)
Differenziabilità	Esiste il piano tangente: $\Delta f=\nabla f\cdot\mathbf h+o(\|\mathbf h\|)$	Esistenza delle sole derivate parziali (più debole)
Piano tangente	Approssimazione lineare del grafico in un punto	Retta tangente (è il caso 1D)
Derivata direzionale	Pendenza lungo un versore $\mathbf v$: $\nabla f\cdot\mathbf v$	Vale così solo se $f$ è differenziabile
Classe $C^1$	Derivate parziali continue $\Rightarrow$ differenziabile	Solo derivabile (non implica differenziabile)
Teorema di Schwarz	Miste continue $\Rightarrow f_{xy}=f_{yx}$	Vale solo con continuità delle miste
Matrice Hessiana	Tabella delle derivate seconde; la "curvatura"	Gradiente (derivate prime, curvatura vs pendenza)

📝 Riepilogo

• La derivata parziale deriva rispetto a una variabile tenendo le altre costanti; le regole sono quelle di Analisi I.
• Il gradiente $\nabla f=(f_x,f_y,\dots)$ punta nella direzione di massima crescita, ha modulo pari alla pendenza massima ed è perpendicolare alle curve/superfici di livello.
• Differenziabilità ≠ esistenza delle derivate parziali: è la proprietà forte (esiste il piano tangente, $\Delta f=\nabla f\cdot\mathbf h+o(\|\mathbf h\|)$). Criterio pratico: derivate parziali continue ($C^1$) $\Rightarrow$ differenziabile.
• La derivata direzionale vale $D_{\mathbf v}f=\nabla f\cdot\mathbf v$ (se differenziabile, $\mathbf v$ versore): massima lungo il gradiente, nulla lungo le curve di livello.
• La regola della catena somma i contributi di ogni variabile ($\frac{dg}{dt}=\nabla f\cdot(x',y')$); con più variabili intermedie si sommano tutti i percorsi.
• Le derivate seconde formano l'Hessiana (simmetrica per Schwarz se $C^2$): misurano la curvatura, base della classificazione dei punti critici.

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▶️ Prossimo capitolo: Massimi e minimi liberi e vincolati — trovare i punti di massimo e minimo di una funzione di più variabili: punti critici col gradiente nullo, classificazione con l'Hessiana, e l'ottimizzazione vincolata col metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

In breve

Trovare il massimo o il minimo di una funzione è forse il problema più utile di tutta l'analisi: minimizzare un costo, massimizzare un profitto o un rendimento, trovare la configurazione di minima energia di un sistema fisico, il miglior fit di un modello ai dati. In una variabile la ricetta era: cerca dove $f'(x)=0$ (punti critici), poi usa il segno di $f''$ per capire se è massimo o minimo. In più variabili la logica è identica, ma il gradiente sostituisce la derivata e l'Hessiana sostituisce la derivata seconda — con una novità: oltre a massimi e minimi compare un terzo tipo di punto critico, la sella, che non ha analogo in una dimensione (un punto che è minimo lungo una direzione e massimo lungo un'altra, come il valico tra due montagne). Distinguiamo due grandi scenari. L'ottimizzazione libera: cerchiamo i massimi/minimi su tutto il dominio, e i candidati sono i punti dove $\nabla f=\mathbf 0$. L'ottimizzazione vincolata: cerchiamo il massimo/minimo soggetto a un vincolo (es. il punto più alto lungo un sentiero prescritto, o il massimo profitto dato un budget), e qui entra in scena uno degli strumenti più eleganti della matematica applicata, il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Questo capitolo mette in pratica il calcolo differenziale del capitolo 4 per risolvere problemi di ottimo.

🎯 Alla fine di questo capitolo saprai: trovare i punti critici liberi imponendo $\nabla f=\mathbf 0$; classificarli (minimo, massimo, sella) con il test dell'Hessiana; capire cos'è una sella; cercare massimi/minimi assoluti su un insieme (interno + frontiera + Weierstrass); risolvere problemi di ottimizzazione vincolata con i moltiplicatori di Lagrange e interpretarne il significato geometrico.

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Ottimizzazione libera: i punti critici

Perché conta: è il primo passo di ogni problema di ottimo. Il gradiente riduce la ricerca dei candidati a un sistema di equazioni.

In una variabile, in un punto di massimo o minimo interno la retta tangente è orizzontale: $f'(x_0)=0$. In più variabili la condizione analoga è che il piano tangente sia orizzontale, cioè che tutte le derivate parziali si annullino:

📌 Definizione formale (condizione necessaria del primo ordine). Se $f$ è differenziabile e $\mathbf x_0$ è un punto di massimo o minimo locale interno, allora $\nabla f(\mathbf x_0) = \mathbf 0.$ Un punto dove il gradiente si annulla si chiama punto critico (o stazionario). Sono i soli candidati interni all'ottimo.

⚠️ Attenzione. La condizione è necessaria ma non sufficiente: $\nabla f=\mathbf 0$ segnala un candidato, non garantisce che sia massimo o minimo (potrebbe essere una sella). Esattamente come in 1D $f'(x_0)=0$ non distingueva massimo, minimo o flesso a tangente orizzontale.

🧩 Esempio. $f(x,y)=x^2+y^2-2x$. $\nabla f=(2x-2,\ 2y)=\mathbf 0 \Rightarrow x=1,\ y=0$. Unico punto critico $(1,0)$.

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Classificare i punti critici: il test dell'Hessiana

Perché conta: trovato un punto critico, bisogna sapere se è un minimo (fondo di valle), un massimo (cima) o una sella. La curvatura — l'Hessiana — dà la risposta.

In una variabile il segno di $f''(x_0)$ decideva: $f''>0$ minimo (concavità in su), $f''<0$ massimo. In più variabili la "concavità" è codificata dalla matrice Hessiana $H_f$ (cap. 4). In due variabili il test si riassume nel segno del determinante dell'Hessiana e di $f_{xx}$:

Poniamo $\det H = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ valutato nel punto critico.

📌 Test dell'Hessiana (due variabili).

• Se $\det H > 0$ e $f_{xx} > 0$: minimo locale (coppa verso l'alto in ogni direzione).
• Se $\det H > 0$ e $f_{xx} < 0$: massimo locale (cupola).
• Se $\det H < 0$: sella (né max né min).
• Se $\det H = 0$: caso dubbio, il test non decide (serve un'analisi diretta).

🔗 Analogia. $\det H>0$ significa che la superficie si curva nello stesso verso in tutte le direzioni (tutta in su = valle, tutta in giù = cima). $\det H<0$ significa che si curva in versi opposti a seconda della direzione: ecco la sella. (In termini più avanzati: il segno del determinante racconta se gli autovalori dell'Hessiana — le curvature principali — hanno lo stesso segno o segni opposti.)

🧩 Esempio 1 (minimo). $f=x^2+y^2-2x$, punto critico $(1,0)$: $f_{xx}=2,\ f_{yy}=2,\ f_{xy}=0$, $\det H=4>0$, $f_{xx}>0$ ⇒ minimo. (È il vertice del paraboloide.)

🧩 Esempio 2 (sella). $f=x^2-y^2$ (paraboloide iperbolico). $\nabla f=(2x,-2y)=\mathbf 0\Rightarrow(0,0)$. $f_{xx}=2,\ f_{yy}=-2,\ f_{xy}=0$, $\det H=-4<0$ ⇒ sella. Lungo $x$ è un minimo (concavità su), lungo $y$ un massimo (concavità giù).

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Che cos'è una sella

Perché conta: è il fenomeno genuinamente nuovo del multidimensionale; capirlo evita l'errore di scambiare un punto critico per un ottimo.

Una sella è un punto critico che è minimo lungo alcune direzioni e massimo lungo altre. Il gradiente è nullo (il piano tangente è orizzontale), eppure il punto non è né il più alto né il più basso dei dintorni.

🔗 Analogia. È esattamente la forma della sella di un cavallo (o di un valico di montagna): cavalcando in avanti-indietro sei nel punto più basso della cresta; guardando ai lati (verso le due montagne) sei nel punto più alto della sella. Un pallino appoggiato lì è in equilibrio, ma instabile: basta una spinta laterale per farlo rotolare via. In fisica corrisponde a un equilibrio instabile.

Le selle sono cruciali in pratica: negli algoritmi di ottimizzazione (discesa del gradiente) sono punti dove il metodo può "incagliarsi" pur non essendo minimi; in fisica separano stati; in economia distinguono equilibri stabili da instabili.

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Massimi e minimi assoluti su un insieme

Perché conta: i problemi reali chiedono spesso l'ottimo assoluto su una regione (con bordo), non solo quelli locali. Qui torna utile la topologia del capitolo 3.

Per trovare il massimo e il minimo assoluti di $f$ su un insieme compatto (chiuso e limitato) $D$, il teorema di Weierstrass (cap. 3) garantisce che esistano. La ricetta:

1. Interno: trova i punti critici ($\nabla f=\mathbf 0$) che stanno dentro $D$.
2. Frontiera: cerca i massimi/minimi di $f$ ristretta al bordo di $D$ (parametrizzando il bordo, o con Lagrange).
3. Confronto: calcola $f$ in tutti i candidati (interni + di bordo) e scegli il valore più grande (massimo assoluto) e più piccolo (minimo assoluto).

🧩 Esempio. Massimo/minimo di $f(x,y)=x^2+y^2-2x$ sul disco $x^2+y^2\le 4$. Interno: punto critico $(1,0)$, $f=-1$. Frontiera $x^2+y^2=4$: lì $f=4-2x$, con $x\in[-2,2]$; max in $x=-2$ ($f=8$), min in $x=2$ ($f=0$). Confronto: minimo assoluto $-1$ in $(1,0)$; massimo assoluto $8$ in $(-2,0)$.

⚠️ Attenzione. Non dimenticare mai la frontiera: l'ottimo assoluto spesso ci sta sopra, non all'interno. E l'esistenza è garantita solo se $D$ è compatto: su un insieme aperto o illimitato il massimo può non esistere.

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Ottimizzazione vincolata: i moltiplicatori di Lagrange

Perché conta: moltissimi problemi reali sono "ottimizza $f$ soggetto a un vincolo $g=0$": massimo profitto dato il budget, minima superficie dato il volume, punto di un sentiero più vicino a casa. Lagrange è lo strumento elegante e universale.

Il problema: massimizzare/minimizzare $f(x,y)$ con il vincolo $g(x,y)=0$ (i punti ammessi stanno su una curva, non su tutto il piano).

L'idea geometrica (bellissima e da capire). Muovendosi lungo la curva-vincolo, $f$ cresce finché la direzione della curva ha una componente "in salita" rispetto a $f$. All'ottimo, la curva-vincolo è tangente a una curva di livello di $f$: non si può più salire restando sul vincolo. Ma "tangenti le curve di livello" significa che i due gradienti sono paralleli: $\nabla f$ (perpendicolare alle curve di livello di $f$) e $\nabla g$ (perpendicolare al vincolo) puntano nella stessa direzione.

📌 Metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Nei punti di massimo/minimo vincolato esiste un numero $\lambda$ (il moltiplicatore) tale che $\nabla f = \lambda\,\nabla g, \qquad g = 0.$ In pratica si risolve il sistema: $f_x=\lambda g_x$, $f_y=\lambda g_y$, $g(x,y)=0$ (tante equazioni quante incognite $x,y,\lambda$). Le soluzioni sono i candidati; si confronta $f$ su di essi.

🔗 Analogia. Sei su un sentiero di montagna (il vincolo) e cerchi il punto più alto. Cammini finché il sentiero smette di salire: lì il sentiero corre parallelo alle isoipse (curve di livello della quota). Il moltiplicatore $\lambda$ misura "quanto spinge" il vincolo — il tasso con cui l'ottimo migliorerebbe allentando il vincolo (in economia è un prezzo ombra: il valore marginale di una unità in più di risorsa).

🧩 Esempio. Massimo di $f(x,y)=xy$ con vincolo $x+y=10$ (cioè $g=x+y-10=0$). $\nabla f=(y,x)$, $\nabla g=(1,1)$. Sistema: $y=\lambda,\ x=\lambda,\ x+y=10$. Da $x=y=\lambda$ e $x+y=10$: $x=y=5$, $\lambda=5$. Il prodotto massimo con somma fissata $10$ è $5\cdot5=25$ (quadrato): il rettangolo di perimetro dato con area massima è il quadrato.

⚠️ Attenzione. Lagrange fornisce i candidati (condizione necessaria); per sapere se un candidato è massimo o minimo si confrontano i valori di $f$ o si ragiona sul problema. Con più vincoli $g_1=0,\dots,g_k=0$ si scrive $\nabla f=\lambda_1\nabla g_1+\dots+\lambda_k\nabla g_k$ (un moltiplicatore per vincolo). Il metodo richiede $\nabla g\ne\mathbf 0$ nei punti considerati.

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🗺️ Come si collega il tutto

L'ottimizzazione è il coronamento operativo del calcolo differenziale (cap. 4): il gradiente individua i candidati ($\nabla f=\mathbf 0$) e l'Hessiana ne rivela la natura (min/max/sella), esattamente come $f'$ e $f''$ in Analisi I — con la sella come fenomeno nuovo del multidimensionale. La ricerca dell'ottimo assoluto su un compatto poggia sul teorema di Weierstrass e sulla topologia (chiuso e limitato) del capitolo 3, e usa interno + frontiera. I moltiplicatori di Lagrange sfruttano l'interpretazione geometrica del gradiente (perpendicolare alle curve di livello): all'ottimo vincolato i gradienti di funzione e vincolo si allineano. Questi metodi sono ovunque nell'ingegneria e nell'economia: minimizzazione dell'energia, dei costi, dei minimi quadrati, controllo ottimo, machine learning (dove la "discesa del gradiente" cerca minimi e teme le selle). Chiuso il calcolo differenziale, i prossimi capitoli passano al calcolo integrale in più dimensioni.

🔑 Concetti chiave

Termine	In una frase	Da non confondere con
Punto critico	Dove $\nabla f=\mathbf 0$: candidato all'ottimo	Punto di ottimo (critico è solo necessario)
Test dell'Hessiana	Segno di $\det H$ e $f_{xx}$ classifica il punto critico	Test di $f''$ in 1D (qui serve tutta la matrice)
Sella	Min in una direzione, max in un'altra; $\det H<0$	Massimo o minimo (la sella non è un ottimo)
Ottimo assoluto	Il più grande/piccolo su tutto $D$ (interno + frontiera)	Ottimo locale (solo nei dintorni)
Weierstrass	Continua su compatto ⇒ esistono max e min assoluti	Vale solo su insiemi chiusi e limitati
Moltiplicatori di Lagrange	Ottimo vincolato: $\nabla f=\lambda\nabla g$, $g=0$	Ottimizzazione libera ($\nabla f=\mathbf 0$)
Moltiplicatore $\lambda$	"Prezzo ombra": valore marginale di allentare il vincolo	Il valore di $f$ (è il suo tasso, non il livello)

📝 Riepilogo

• Ottimizzazione libera: i candidati interni sono i punti critici ($\nabla f=\mathbf 0$), condizione necessaria non sufficiente.
• Classificazione (2 variabili) con l'Hessiana: $\det H>0,\ f_{xx}>0$ minimo; $\det H>0,\ f_{xx}<0$ massimo; $\det H<0$ sella; $\det H=0$ dubbio.
• La sella (novità del multidimensionale) è min lungo certe direzioni e max lungo altre: gradiente nullo ma nessun ottimo.
• Ottimo assoluto su un compatto (Weierstrass ne garantisce l'esistenza): confronta punti critici interni e ottimi sulla frontiera.
• Ottimizzazione vincolata: Lagrange impone $\nabla f=\lambda\nabla g$ con $g=0$; geometricamente all'ottimo il vincolo è tangente a una curva di livello; $\lambda$ è il prezzo ombra. Più vincoli ⇒ combinazione dei $\nabla g_i$.

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▶️ Prossimo capitolo: Integrali doppi — l'integrale passa a due dimensioni: sommare i valori di una funzione su una regione del piano per calcolare volumi, aree, masse; formule di riduzione a integrali iterati e cambiamento di variabili (coordinate polari).