Fondamenti di Automatica

Cos'è l'automatica: sistemi e controllo

In breve

L'automatica (o teoria dei controlli automatici) risponde a una domanda che è ovunque nella tecnologia moderna: come si fa a governare un sistema perché si comporti come vogliamo? Come fa un termostato a mantenere la temperatura costante? Un'automobile a tenere la velocità impostata (cruise control)? Un drone a restare in volo stabile? Un braccio robotico a raggiungere esattamente una posizione? La risposta è un'idea semplice e potentissima: la retroazione (feedback) — misurare ciò che il sistema sta facendo, confrontarlo con l'obiettivo, e correggere l'azione di conseguenza, di continuo. Questo capitolo introduce la disciplina. Vedremo i concetti fondamentali: sistema, ingresso e uscita, sistema dinamico. Vedremo cos'è il controllo e la distinzione cruciale tra controllo ad anello aperto (senza misura dell'uscita) e ad anello chiuso (con retroazione). Vedremo perché la retroazione è così potente (corregge disturbi ed errori, riduce le incertezze) — e i suoi rischi (l'instabilità). Vedremo gli obiettivi del controllo (stabilità, precisione, prontezza) e la struttura tipica di un sistema di controllo. Capire cos'è l'automatica è capire il principio che sta dietro l'automazione di tutto il mondo che ci circonda.

🎯 Alla fine di questo capitolo saprai: i concetti di sistema, ingresso/uscita, sistema dinamico; cos'è il controllo e la differenza tra anello aperto e anello chiuso; la potenza (e i rischi) della retroazione; gli obiettivi del controllo (stabilità, precisione, prontezza).

Sistemi, ingressi e uscite

Perché conta: sono i concetti-base con cui l'automatica descrive tutto ciò che vuole controllare.

📌 Il concetto di sistema. L'automatica ragiona in termini di sistemi. Un sistema è un oggetto (fisico, ma anche astratto) che interagisce con l'esterno attraverso:

degli ingressi (input): le grandezze che agiscono sul sistema (ciò che possiamo manipolare — es. la tensione a un motore — o che subiamo — i disturbi);
delle uscite (output): le grandezze che il sistema produce e che osserviamo o vogliamo controllare (es. la velocità del motore).

Un sistema è dinamico quando la sua uscita non dipende solo dall'ingresso attuale, ma anche dalla storia passata (il sistema ha una "memoria", uno stato interno): la sua evoluzione richiede tempo (transitori). Ci concentreremo sui sistemi LTI (lineari e tempo-invarianti), la classe fondamentale: lineari (vale la sovrapposizione degli effetti) e tempo-invarianti (il comportamento non cambia nel tempo). Sono un'idealizzazione, ma descrivono bene molti sistemi reali (o le loro approssimazioni attorno a un punto di lavoro).

🔗 Analogia. In automatica pensiamo a ogni cosa come a una "scatola" (il sistema) con delle manopole d'ingresso e dei display d'uscita. Pensa a una doccia: gli ingressi sono le manopole dell'acqua calda e fredda (che manipoli tu) più eventuali disturbi (qualcuno che apre un rubinetto altrove e cambia la pressione); l'uscita è la temperatura dell'acqua che ti arriva addosso. La cosa cruciale è che la doccia è un sistema dinamico: quando giri la manopola, l'acqua non cambia temperatura all'istante — ci mette un po' (il tempo che l'acqua percorra il tubo), c'è un transitorio. Questo "ritardo" e questa "memoria" (l'uscita dipende da cosa hai fatto prima, non solo ora) sono l'essenza dei sistemi dinamici, e sono esattamente ciò che rende il controllo difficile e interessante. ⚠️ Ci concentreremo sui sistemi lineari e tempo-invarianti (LTI): "lineari" significa che raddoppiando l'ingresso si raddoppia l'uscita (e gli effetti si sommano — la sovrapposizione), "tempo-invarianti" che il sistema si comporta oggi come domani. È un'idealizzazione (i sistemi reali sono un po' non-lineari), ma è la classe su cui si costruisce tutta la teoria, e approssima benissimo la realtà attorno a un punto di funzionamento. Sono i "mattoni" con cui costruiremo tutto.

Controllo: anello aperto e anello chiuso

Perché conta: è la distinzione fondamentale, e spiega la potenza della retroazione.

📌 Cos'è il controllo. Controllare un sistema significa agire sui suoi ingressi (manipolabili) per far sì che l'uscita assuma un comportamento desiderato (segua un valore di riferimento, il setpoint), nonostante i disturbi e le incertezze. Ci sono due strategie fondamentali:

controllo ad anello aperto (open loop): si decide l'azione di controllo senza misurare l'uscita, basandosi solo su un modello del sistema e sul riferimento. Il controllore "si fida" del sistema. Esempio: un forno con un timer (scalda per 10 minuti, senza sapere la temperatura raggiunta). Semplice, ma non corregge errori e disturbi (se il modello è impreciso o c'è un disturbo, l'uscita sbaglia);
controllo ad anello chiuso (closed loop, o in retroazione): si misura l'uscita, la si confronta con il riferimento (calcolando l'errore), e si usa questo errore per correggere l'azione di controllo. Esempio: un termostato che misura la temperatura e accende/spegne il riscaldamento finché non raggiunge il valore voluto.

🔗 Analogia. Immagina di dover guidare l'auto dritta su una strada. Il metodo ad anello aperto sarebbe: chiudi gli occhi, blocca il volante nella posizione che "dovrebbe" andare dritta, e spera. Se la strada è perfetta e l'auto è perfettamente tarata, magari va bene per un po'... ma al primo vento laterale, alla prima buca, alla minima imperfezione, finisci fuori strada — e non te ne accorgi nemmeno, perché non stai guardando! Questo è il limite dell'anello aperto: non c'è correzione, ci si fida ciecamente del modello. Il metodo ad anello chiuso è come guidare a occhi aperti: guardi continuamente dove sei (misuri l'uscita), la confronti con dove vuoi essere (il centro della corsia), e correggi lo sterzo in base allo scarto (l'errore). Se il vento ti sposta, tu te ne accorgi e correggi. ⚠️ La differenza è enorme: l'anello aperto è semplice ma cieco e fragile; l'anello chiuso, grazie alla retroazione (feedback), vede e corregge — ed è per questo che praticamente tutti i sistemi di controllo reali (termostati, cruise control, robot, autopiloti) usano la retroazione. Misurare, confrontare, correggere: è il ciclo che rende possibile governare i sistemi nel mondo reale, pieno di disturbi e imprevisti.

La potenza (e i rischi) della retroazione

Perché conta: la retroazione è il cuore dell'automatica, con benefici enormi e un pericolo.

📌 Perché la retroazione è potente. La retroazione (chiudere l'anello misurando l'uscita) offre vantaggi decisivi:

corregge i disturbi: qualunque perturbazione allontani l'uscita dal riferimento genera un errore, che il controllore corregge automaticamente;
riduce la sensibilità alle incertezze: anche se il modello del sistema è impreciso o i parametri cambiano (usura, temperatura), la retroazione "aggiusta" comunque, perché lavora sull'errore misurato, non su previsioni;
modella il comportamento: permette di rendere il sistema più veloce, preciso, stabile di quanto sarebbe da solo.

⚠️ Il rischio: l'instabilità. La retroazione ha però un pericolo fondamentale. Se le correzioni sono troppo aggressive o arrivano con ritardo, il sistema può oscillare sempre di più invece di convergere: diventa instabile. È il caso dell'audio che va in feedback (il fischio del microfono vicino all'altoparlante) o di chi corregge troppo bruscamente lo sterzo e sbanda a zig-zag. Garantire la stabilità del sistema in retroazione è perciò il primo e più importante obiettivo dell'automatica (cap. 6, 9).

📌 Gli obiettivi del controllo. Un buon sistema di controllo deve garantire:

la stabilità (l'uscita non diverge né oscilla indefinitamente — requisito irrinunciabile);
la precisione (a regime, l'uscita deve seguire il riferimento con errore piccolo o nullo);
la prontezza (velocità di risposta: raggiungere il riferimento rapidamente, con transitori accettabili);
un buon comportamento verso i disturbi (reiettarli) e il rumore di misura.

Questi obiettivi sono spesso in conflitto (più prontezza può ridurre la stabilità), e il progetto del controllore (cap. 11) è la ricerca del giusto compromesso.

🔗 Analogia. La retroazione è come avere un assistente vigile che corregge di continuo: qualunque cosa vada storta (un disturbo, un errore del modello, l'usura), lui se ne accorge dall'errore e aggiusta. È magica: rende il sistema robusto (funziona anche se non conosci tutto perfettamente), preciso e pronto. ⚠️ Ma ha un lato oscuro: se l'assistente corregge in modo troppo brusco o troppo tardi, invece di calmare il sistema lo fa impazzire — le correzioni si sommano nel verso sbagliato e le oscillazioni crescono fino all'instabilità. Lo senti ogni volta che un microfono avvicinato all'altoparlante emette quel fischio assordante: è la retroazione andata "fuori controllo", un anello che si auto-amplifica. Oppure pensa a chi, spaventato, corregge lo sterzo troppo forte: sbanda a destra, poi corregge troppo a sinistra, poi troppo a destra — a zig-zag sempre più ampi. ⚠️ Per questo il primo comandamento dell'automatica è: garantire la stabilità. Poi vengono la precisione (arrivare esattamente all'obiettivo), la prontezza (arrivarci in fretta) e la reiezione dei disturbi. Il problema è che questi obiettivi litigano tra loro (voler essere più veloci rischia di destabilizzare), e tutto il mestiere del controllista — che impareremo nel corso — è trovare il compromesso giusto: un sistema stabile, preciso e pronto quanto basta. È l'arte di "domare" la potenza della retroazione senza farsi travolgere dai suoi rischi.

🗺️ Come si collega il tutto

Questo capitolo introduce l'automatica: la disciplina che studia come governare i sistemi dinamici tramite il controllo. I concetti-base — sistema, ingressi/uscite, sistema dinamico (con memoria/stato), la classe LTI (lineare, tempo-invariante) — sono il vocabolario di tutto il corso. La distinzione fondamentale è tra controllo ad anello aperto (senza misura, cieco ai disturbi) e ad anello chiuso (in retroazione: misura, confronta, corregge). La retroazione è il cuore dell'automatica: potentissima (corregge disturbi, riduce l'effetto delle incertezze, modella il comportamento) ma rischiosa (può portare all'instabilità). Gli obiettivi del controllo — stabilità (irrinunciabile), precisione, prontezza, reiezione dei disturbi — spesso in conflitto, guidano tutto il corso. Per studiare quantitativamente questi sistemi servono strumenti: i modelli dei sistemi dinamici (equazioni differenziali, cap. 2), la trasformata di Laplace (cap. 3) e la funzione di trasferimento (cap. 4), con cui analizzeremo la risposta nel tempo (cap. 5) e la stabilità (cap. 6); la retroazione è formalizzata negli schemi a blocchi (cap. 7); i criteri in frequenza (Bode cap. 8, Nyquist cap. 9) e il luogo delle radici (cap. 10) portano al progetto del controllore (cap. 11). Capire cos'è l'automatica è capire il principio dell'automazione. Il prossimo capitolo costruisce lo strumento di partenza: i modelli matematici dei sistemi dinamici.

🔑 Concetti chiave

Termine	In una frase	Da non confondere con
Sistema	Oggetto che trasforma ingressi in uscite	Un singolo componente statico
Sistema dinamico	L'uscita dipende dalla storia passata (ha memoria/stato)	Sistema statico (uscita = funzione dell'ingresso attuale)
Sistema LTI	Lineare (sovrapposizione) e tempo-invariante	Sistema non lineare o variante
Controllo ad anello aperto	Azione decisa senza misurare l'uscita (cieco)	Anello chiuso (con retroazione)
Controllo ad anello chiuso	Misura l'uscita, calcola l'errore, corregge	Anello aperto (senza feedback)
Retroazione (feedback)	Usare l'uscita misurata per correggere l'azione	Azione in avanti (feedforward)
Stabilità	L'uscita non diverge né oscilla indefinitamente	Precisione / prontezza

📝 Riepilogo

L'automatica studia come controllare i sistemi dinamici. Un sistema trasforma ingressi (manipolabili o disturbi) in uscite; è dinamico se l'uscita dipende dalla storia passata (ha memoria/stato). Ci si concentra sui sistemi LTI (lineari e tempo-invarianti).
Controllare = agire sugli ingressi perché l'uscita segua un riferimento, nonostante disturbi. Due strategie: anello aperto (senza misura dell'uscita, "cieco", non corregge errori/disturbi) e anello chiuso (in retroazione: misura l'uscita, calcola l'errore, corregge).
La retroazione è potente: corregge i disturbi, riduce la sensibilità alle incertezze del modello, modella il comportamento. Ma è rischiosa: correzioni troppo aggressive o ritardate → instabilità (oscillazioni crescenti, come il fischio del microfono).
Obiettivi del controllo: stabilità (irrinunciabile), precisione (errore piccolo a regime), prontezza (velocità), reiezione dei disturbi. Spesso in conflitto: il progetto (cap. 11) cerca il compromesso.

▶️ Prossimo capitolo: I modelli dei sistemi dinamici — come descrivere matematicamente un sistema: le equazioni differenziali, i sistemi del primo e secondo ordine, la linearizzazione e il concetto di stato.

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I modelli dei sistemi dinamici

In breve

Per controllare un sistema, prima bisogna descriverlo matematicamente: costruire un modello che catturi come l'uscita evolve in funzione degli ingressi e del tempo. Poiché i sistemi dinamici hanno "memoria" (l'uscita dipende dal passato), il loro linguaggio naturale sono le equazioni differenziali. Questo capitolo costruisce gli strumenti di modellazione, il punto di partenza di tutto il corso. Vedremo come si scrive il modello di un sistema fisico a partire dalle leggi che lo governano (esempi meccanici ed elettrici) e come si arriva a un'equazione differenziale che lega ingresso e uscita. Vedremo i due "mattoni" fondamentali: il sistema del primo ordine (una sola costante di tempo, es. un circuito RC) e il sistema del secondo ordine (con l'importantissimo ruolo dello smorzamento, es. massa-molla-smorzatore), che descrivono la stragrande maggioranza dei comportamenti dinamici. Vedremo il concetto di stato (le variabili che riassumono la "memoria" del sistema) e l'idea della linearizzazione (approssimare un sistema non lineare con uno lineare attorno a un punto di lavoro). Capire i modelli è avere il ponte tra il sistema fisico reale e gli strumenti matematici (Laplace, funzione di trasferimento) che useremo per analizzarlo e controllarlo.

🎯 Alla fine di questo capitolo saprai: come si costruisce un modello con equazioni differenziali; i sistemi del primo ordine (costante di tempo) e del secondo ordine (smorzamento, pulsazione naturale); il concetto di stato; l'idea della linearizzazione.

Dal sistema fisico all'equazione differenziale

Perché conta: è il primo passo — tradurre la fisica in matematica trattabile.

📌 Costruire il modello. Modellare un sistema significa scriverne le equazioni a partire dalle leggi fisiche che lo governano:

per un sistema meccanico: la seconda legge di Newton ( $F = ma$ ), le relazioni di molle ( $F = kx$ ) e smorzatori ( $F = c\dot{x}$ );
per un sistema elettrico: le leggi di Kirchhoff e le relazioni dei componenti (resistore $v = Ri$ , condensatore $i = C\dot{v}$ , induttore $v = L\frac{di}{dt}$ ).

Combinando queste relazioni si ottiene un'equazione differenziale (o un sistema di equazioni) che lega l'uscita $y(t)$ all'ingresso $u(t)$ . Per i sistemi LTI (cap. 1) è un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti, della forma generale:

$a_n \frac{d^n y}{dt^n} + \dots + a_1 \dot{y} + a_0 y = b_m \frac{d^m u}{dt^m} + \dots + b_0 u$

L'ordine del sistema è $n$ (il grado massimo di derivazione dell'uscita): indica quante "memorie" indipendenti (elementi che accumulano energia: masse, molle, condensatori, induttori) contiene il sistema.

🔗 Analogia. Modellare è come scrivere le "regole del gioco" di un sistema in linguaggio matematico. Prendi un oggetto attaccato a una molla (massa-molla-smorzatore): le leggi della fisica ti dicono come si comporta — la molla lo richiama ( $F=kx$ ), lo smorzatore frena il movimento ( $F=c\dot x$ ), Newton lega forza e accelerazione ( $F=ma$ ). Mettendo insieme queste regole ottieni un'equazione che descrive tutto il moto. Perché salta fuori un'equazione differenziale (con le derivate)? Perché nei sistemi dinamici contano le velocità di variazione: l'accelerazione è la derivata seconda della posizione, la corrente in un condensatore dipende da quanto velocemente cambia la tensione. Le derivate sono il modo matematico di dire "come cambia nel tempo". ⚠️ Un'idea chiave è l'ordine del sistema: conta quanti elementi "immagazzinano energia e ricordano il passato" ci sono (masse che hanno inerzia, molle che accumulano energia, condensatori che trattengono carica, induttori...). Un circuito con un solo condensatore è del primo ordine; una massa-molla (con inerzia e elasticità) è del secondo ordine. Più "memorie" ha il sistema, più alto l'ordine, più ricco (e complesso) il suo comportamento. Questi due tipi — primo e secondo ordine — sono i mattoni con cui si capisce quasi tutto.

Primo e secondo ordine: i mattoni

Perché conta: quasi ogni comportamento dinamico si riconduce a questi due modelli.

📌 Il sistema del primo ordine. È descritto da un'equazione differenziale del primo ordine. In forma standard:

$\tau \dot{y}(t) + y(t) = K\, u(t)$

I due parametri fondamentali:

$K$ : il guadagno statico (di quanto l'uscita a regime è più grande dell'ingresso);
$\tau$ : la costante di tempo (in secondi), che misura la velocità di risposta: quanto tempo il sistema impiega a "reagire". Piccola $\tau$ = risposta veloce; grande $\tau$ = risposta lenta.

Esempi: un circuito RC ( $\tau = RC$ ), il raffreddamento di un corpo, un serbatoio che si riempie. La risposta a un gradino è un esponenziale che tende dolcemente al valore finale, senza oscillare.

📌 Il sistema del secondo ordine. È descritto da un'equazione del secondo ordine. La forma standard (fondamentale in tutto il corso):

$\ddot{y}(t) + 2\zeta\omega_n \dot{y}(t) + \omega_n^2\, y(t) = K\omega_n^2\, u(t)$

I parametri:

$\omega_n$ : la pulsazione naturale (rad/s), la "frequenza" propria di oscillazione del sistema;
$\zeta$ $ζ$ (zeta): il coefficiente di smorzamento (adimensionale), che governa come il sistema si assesta. È il parametro cruciale:
- $\zeta > 1$ : sistema sovrasmorzato — torna al valore finale lentamente, senza oscillare;
- $\zeta = 1$ : criticamente smorzato — il ritorno più veloce senza oscillazioni;
- $0 < \zeta < 1$ : sottosmorzato — il sistema oscilla attorno al valore finale, con oscillazioni che si smorzano nel tempo (il caso più comune e interessante);
- $\zeta = 0$ : non smorzato — oscilla per sempre (oscillatore ideale);
- $\zeta < 0$ : instabile — oscillazioni che crescono.

Esempi: massa-molla-smorzatore, circuito RLC, sospensioni di un'auto.

🔗 Analogia. Il sistema del primo ordine è il più "docile": pensa a una tazza di tè caldo che si raffredda, o a un secchio che si riempie — l'uscita si avvicina dolcemente al valore finale seguendo una curva esponenziale, senza mai "superarlo" né oscillare. L'unico parametro che conta davvero è la costante di tempo $\tau$ : quanto è lento o veloce. Il tè si raffredda in minuti (τ grande), un circuito RC può reagire in millisecondi (τ piccola). Semplice e prevedibile. ⚠️ Il sistema del secondo ordine è molto più ricco, perché ha un parametro in più decisivo: lo smorzamento $\zeta$ . Pensa alle sospensioni della tua auto quando prendi una buca. Se sono ben tarate (smorzamento giusto, $\zeta \approx 1$ ), l'auto si assesta subito senza sobbalzi. Se lo smorzatore è rotto (poco smorzamento, $\zeta$ piccolo), l'auto rimbalza su e giù più volte prima di fermarsi (oscillazioni sottosmorzate). Se non ci fosse alcuno smorzamento ( $\zeta=0$ ), rimbalzerebbe all'infinito (come una molla ideale). E se — per assurdo — lo smorzamento fosse negativo, i rimbalzi crescerebbero fino a distruggere tutto (instabilità!). ⚠️ Questo parametro $\zeta$ è al centro di tutta l'automatica: dice se un sistema si calma dolcemente, oscilla, o esplode. E $\omega_n$ (pulsazione naturale) dice quanto in fretta oscilla. Insieme, primo e secondo ordine descrivono l'enorme maggioranza dei comportamenti dinamici reali: imparare a leggerli è capire il "carattere" di qualsiasi sistema.

Stato e linearizzazione

Perché conta: lo stato riassume la memoria; la linearizzazione permette di usare gli strumenti LTI.

📌 Il concetto di stato. Lo stato di un sistema dinamico è l'insieme minimo di variabili che, note all'istante $t_0$ (insieme agli ingressi futuri), determinano completamente l'evoluzione futura del sistema. Lo stato riassume tutta la storia passata rilevante: è la "memoria" del sistema. Tipicamente le variabili di stato sono legate all'energia immagazzinata:

in meccanica: posizione e velocità (energia potenziale e cinetica);
in elettronica: tensione sui condensatori e corrente negli induttori.

Il numero di variabili di stato è pari all'ordine del sistema. Questo concetto è alla base della rappresentazione in spazio di stato (cap. 12), l'approccio "moderno" al controllo.

📌 La linearizzazione. I sistemi reali sono spesso non lineari (il pendolo, la saturazione di un attuatore, l'attrito). Ma gli strumenti potenti dell'automatica (Laplace, funzione di trasferimento) valgono per i sistemi LTI. La linearizzazione è il metodo per applicarli comunque:

si sceglie un punto di lavoro (o di equilibrio) attorno a cui il sistema opera;
si approssima il comportamento non lineare con quello lineare in un intorno di quel punto (matematicamente: lo sviluppo di Taylor al primo ordine, tenendo solo il termine lineare);
il modello linearizzato è valido per piccole variazioni attorno al punto di lavoro.

⚠️ La linearizzazione è un'approssimazione locale: vale finché il sistema resta "vicino" al punto di lavoro. Per grandi escursioni o forti non linearità servono metodi più avanzati, ma per moltissime applicazioni la linearizzazione è sufficiente ed è la base della teoria classica del controllo.

🔗 Analogia. Il concetto di stato risponde a una domanda: "quali informazioni mi bastano, adesso, per prevedere il futuro del sistema (dati gli ingressi)?". Per una pallina che rotola, mi bastano posizione e velocità attuali: non mi serve sapere tutta la sua storia passata, perché quella storia è già "riassunta" in dove si trova e quanto va veloce. Lo stato è proprio questo riassunto essenziale della memoria — di solito legato all'energia immagazzinata (posizione/velocità in meccanica, cariche/correnti in elettronica). È un'idea profonda: tutto il passato che conta è condensato in poche variabili nel presente. ⚠️ La linearizzazione, invece, è un trucco pragmatico e potentissimo. Il mondo reale è pieno di non linearità (un pendolo che oscilla molto, un motore che va in saturazione), e per queste gli strumenti eleganti dell'automatica (che vedremo) non varrebbero. La soluzione: se il sistema lavora attorno a un certo punto (l'equilibrio), possiamo "raddrizzare la curva" in quel punto, sostituendo la complicata relazione non lineare con la sua retta tangente (lo sviluppo di Taylor al primo ordine). È come dire: "la Terra è curva, ma nel mio quartiere posso trattarla come piatta senza sbagliare di molto". ⚠️ Vale finché resto vicino al punto scelto (piccole variazioni); se mi allontano troppo, l'approssimazione crolla. Ma per la maggior parte dei sistemi ben progettati — che lavorano attorno a un punto di funzionamento — la linearizzazione è abbastanza buona, e ci permette di usare tutta la potente cassetta degli attrezzi LTI: Laplace (cap. 3), funzione di trasferimento (cap. 4) e tutto il resto.

🗺️ Come si collega il tutto

Questo capitolo costruisce gli strumenti di modellazione, il ponte tra il sistema fisico e la matematica del controllo. Un sistema dinamico si descrive con equazioni differenziali ottenute dalle leggi fisiche (meccaniche, elettriche); per i sistemi LTI (cap. 1) sono lineari a coefficienti costanti, di ordine $n$ pari al numero di elementi con memoria. I due mattoni fondamentali sono il primo ordine (guadagno $K$ , costante di tempo $\tau$ ; risposta esponenziale non oscillante) e il secondo ordine (pulsazione naturale $\omega_n$ , smorzamento $\zeta$ ; sovrasmorzato/critico/sottosmorzato secondo $\zeta$ ), che descrivono quasi tutti i comportamenti dinamici. Il concetto di stato (memoria minima, legata all'energia) fonda l'approccio in spazio di stato (cap. 12), e la linearizzazione (approssimazione locale col Taylor) permette di applicare gli strumenti LTI ai sistemi reali non lineari. Questi modelli sono il punto di partenza di tutto il corso: la trasformata di Laplace (cap. 3) trasformerà le equazioni differenziali in equazioni algebriche, portando alla funzione di trasferimento (cap. 4); i parametri $\tau$ , $\omega_n$ , $\zeta$ governeranno la risposta nel tempo (cap. 5, transitori, sovraelongazione) e lo smorzamento è legato alla stabilità (cap. 6). Capire i modelli è avere il linguaggio con cui descrivere ciò che vogliamo controllare. Il prossimo capitolo introduce lo strumento che rende tutto trattabile: la trasformata di Laplace.

🔑 Concetti chiave

Termine	In una frase	Da non confondere con
Modello	Descrizione matematica (equazioni) del comportamento del sistema	Il sistema fisico reale
Equazione differenziale	Lega uscita, ingresso e loro derivate (la memoria del sistema)	Equazione algebrica (statica)
Ordine del sistema	Grado massimo di derivazione = n° di elementi con memoria	Guadagno statico
Sistema del primo ordine	Una costante di tempo τ; risposta esponenziale non oscillante	Secondo ordine (può oscillare)
Costante di tempo τ	Misura la velocità di risposta del primo ordine	Pulsazione naturale ωₙ
Smorzamento ζ	Governa se il 2° ordine oscilla o no (sotto/critico/sovrasmorzato)	Pulsazione naturale ωₙ (frequenza)
Stato	Insieme minimo di variabili che riassumono la storia passata	Uscita (una singola grandezza osservata)
Linearizzazione	Approssimare un sistema non lineare con uno lineare (Taylor) attorno a un punto	Modello esatto globale

📝 Riepilogo

Modellare un sistema = scriverne le equazioni differenziali dalle leggi fisiche (Newton; Kirchhoff e componenti). Per i sistemi LTI sono lineari a coefficienti costanti; l'ordine $n$ = numero di elementi con memoria (masse, molle, condensatori, induttori).
Primo ordine: $\tau\dot y + y = Ku$ — guadagno statico $K$ e costante di tempo $\tau$ (velocità di risposta); risposta al gradino esponenziale non oscillante.
Secondo ordine: $\ddot y + 2\zeta\omega_n\dot y + \omega_n^2 y = K\omega_n^2 u$ — pulsazione naturale $\omega_n$ e smorzamento $\zeta$ : $\zeta>1$ sovrasmorzato, $\zeta=1$ critico, $0<\zeta<1$ sottosmorzato (oscilla e si smorza), $\zeta=0$ oscilla per sempre, $\zeta<0$ instabile.
Lo stato è l'insieme minimo di variabili che riassumono la storia passata (legate all'energia: posizione/velocità, tensioni/correnti); il loro numero è l'ordine. La linearizzazione approssima un sistema non lineare con uno lineare (Taylor al 1° ordine) attorno a un punto di lavoro — valida per piccole variazioni, base della teoria LTI.

▶️ Prossimo capitolo: La trasformata di Laplace — lo strumento matematico che trasforma le equazioni differenziali in equazioni algebriche, semplificando enormemente l'analisi dei sistemi dinamici.

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La trasformata di Laplace

In breve

Le equazioni differenziali (cap. 2) descrivono i sistemi dinamici, ma risolverle direttamente è complicato. La trasformata di Laplace è lo strumento matematico che compie un piccolo miracolo: trasforma le equazioni differenziali (difficili) in equazioni algebriche (facili), permettendo di manipolarle con semplici operazioni di algebra invece che di calcolo. È la chiave che apre tutto il metodo classico dei controlli automatici. Questo capitolo la introduce dal punto di vista operativo (come si usa), più che dei dettagli teorici. Vedremo la definizione della trasformata e l'idea di passare dal dominio del tempo $t$ al dominio complesso $s$ . Vedremo la proprietà fondamentale che rende tutto possibile: la trasformata della derivata diventa una moltiplicazione per $s$ (così le derivate spariscono e restano semplici polinomi). Vedremo le trasformate dei segnali tipici (gradino, impulso, rampa, esponenziale, sinusoide) e le proprietà utili (linearità, traslazione, teoremi del valore iniziale e finale). Vedremo l'operazione inversa: l'antitrasformata tramite lo sviluppo in fratti semplici, per tornare al dominio del tempo. Capire la trasformata di Laplace è impadronirsi dello strumento che rende l'analisi dei sistemi dinamici sorprendentemente semplice.

🎯 Alla fine di questo capitolo saprai: la definizione e l'idea della trasformata di Laplace (dal dominio $t$ al dominio $s$ ); la proprietà chiave (derivata → moltiplicazione per $s$ ); le trasformate dei segnali tipici; l'antitrasformata con i fratti semplici.

L'idea: dal dominio del tempo al dominio s

Perché conta: è il "cambio di linguaggio" che trasforma il calcolo in algebra.

📌 Definizione. La trasformata di Laplace associa a una funzione del tempo $f(t)$ (definita per $t \geq 0$ ) una funzione $F(s)$ di una variabile complessa $s$ , secondo:

$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} f(t)\, e^{-st}\, dt$

dove $s = \sigma + j\omega$ è un numero complesso. L'idea centrale non è l'integrale in sé, ma il cambio di dominio:

si parte dal dominio del tempo ( $t$ ), dove i sistemi sono descritti da equazioni differenziali (con derivate e integrali — difficili);
si passa al dominio della variabile complessa ( $s$ , detto anche dominio della frequenza complessa), dove le stesse relazioni diventano algebriche (polinomi e frazioni — facili).

È una corrispondenza biunivoca: si può sempre tornare indietro (antitrasformata). Il metodo di lavoro sarà: trasformare il problema nel dominio $s$ , risolverlo con l'algebra, antitrasformare la soluzione per tornare nel tempo.

🔗 Analogia. La trasformata di Laplace è come un traduttore che trasforma un problema scritto in una lingua difficile in uno scritto in una lingua facile. Nel "dominio del tempo" i sistemi parlano la lingua delle equazioni differenziali — piena di derivate e integrali, un incubo da risolvere a mano. Laplace traduce tutto nel "dominio $s$ ", dove quelle stesse equazioni diventano semplici frazioni algebriche che manipoli come alle medie. ⚠️ Un paragone ancora più calzante: i logaritmi. Prima delle calcolatrici, per moltiplicare due numeri enormi si usavano i logaritmi — si "trasformava" la difficile moltiplicazione in una facile addizione (dei logaritmi), si sommava, e poi si "antitrasformava" (esponenziale) per avere il risultato. Laplace fa esattamente lo stesso servizio per i sistemi dinamici: trasforma il calcolo differenziale (difficile) in algebra (facile). La strategia è sempre a tre passi: (1) traduci il problema nel dominio $s$ , (2) risolvilo con la semplice algebra, (3) ritraduci la risposta nel dominio del tempo (antitrasformata). Il "prezzo" è imparare a maneggiare la variabile complessa $s$ , ma il guadagno è enorme: tutta l'analisi dei sistemi diventa gestibile. È lo strumento che rende possibile il metodo classico dei controlli.

La proprietà chiave e i segnali tipici

Perché conta: la trasformata della derivata è ciò che fa "sparire" le equazioni differenziali.

📌 La proprietà fondamentale: derivata → moltiplicazione per s. La magia della trasformata di Laplace sta in questa proprietà: la trasformata della derivata di una funzione è (a meno delle condizioni iniziali) la trasformata della funzione moltiplicata per $s$ :

$\mathcal{L}\{\dot{f}(t)\} = s F(s) - f(0)$ $\mathcal{L}\{\ddot{f}(t)\} = s^2 F(s) - s f(0) - \dot{f}(0)$

Con condizioni iniziali nulle (il caso standard nell'analisi): derivare nel tempo $\Leftrightarrow$ moltiplicare per $s$ nel dominio $s$ . Simmetricamente, integrare $\Leftrightarrow$ dividere per $s$ . Ecco perché le equazioni differenziali diventano algebriche: ogni derivata $\frac{d^n}{dt^n}$ si trasforma in una potenza $s^n$ , e l'equazione differenziale diventa un'equazione polinomiale in $s$ .

📌 Le proprietà utili. Altre proprietà importanti:

linearità: $\mathcal{L}\{a f + b g\} = a F(s) + b G(s)$ ;
traslazione nel tempo (ritardo): $\mathcal{L}\{f(t-T)\} = e^{-sT} F(s)$ (un ritardo diventa un fattore $e^{-sT}$ );
teorema del valore finale: $\lim_{t\to\infty} f(t) = \lim_{s\to 0} s F(s)$ (dà il valore a regime senza antitrasformare — utilissimo);
teorema del valore iniziale: $\lim_{t\to 0^+} f(t) = \lim_{s\to\infty} s F(s)$ .

📌 Le trasformate dei segnali tipici. Le trasformate dei segnali di prova fondamentali (da conoscere a memoria):

Segnale $f(t)$	Trasformata $F(s)$
impulso $\delta(t)$	$1$
gradino unitario $\mathbb{1}(t)$	$\dfrac{1}{s}$
rampa $t$	$\dfrac{1}{s^2}$
esponenziale $e^{-at}$	$\dfrac{1}{s+a}$
sinusoide $\sin(\omega t)$	$\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$

🔗 Analogia. Ecco il cuore del "miracolo" di Laplace. La cosa che rende difficili le equazioni differenziali sono le derivate. Laplace le elimina con una regola semplicissima: derivare nel tempo diventa moltiplicare per $s$ . Cioè: $\dot y$ (velocità, la derivata prima) diventa $sY$ ; $\ddot y$ (accelerazione, derivata seconda) diventa $s^2 Y$ . Le derivate — il pezzo difficile — si trasformano in potenze di $s$ , cioè in un semplice polinomio! ⚠️ Così un'equazione differenziale complicata come " $\ddot y + 3\dot y + 2y = u$ " diventa la banale equazione algebrica " $s^2 Y + 3sY + 2Y = U$ ", che risolvi in un attimo come faresti con le $x$ . È come se un problema di calcolo integrale si trasformasse in un problema di prima media. Simmetricamente, integrare (accumulare) diventa dividere per $s$ . E ci sono comodità in più: il teorema del valore finale ti dice il valore "a regime" (dove va a finire il sistema dopo tanto tempo) con un semplice $\lim_{s\to 0} sF(s)$ , senza dover risolvere niente — un regalo prezioso. ⚠️ Infine, i segnali di prova hanno trasformate semplici da tenere a mente: il gradino (un ingresso che salta da 0 a 1 e ci resta — come accendere un interruttore) diventa $1/s$ ; l'impulso diventa $1$ ; l'esponenziale $e^{-at}$ diventa $1/(s+a)$ . Queste poche trasformate, più la regola "derivata = $\times s$ ", sono tutto ciò che serve per iniziare a lavorare nel dominio $s$ .

L'antitrasformata: tornare nel tempo

Perché conta: dopo aver risolto in $s$ , bisogna tornare al tempo per interpretare il risultato.

📌 Dallo $s$ al tempo: i fratti semplici. Dopo aver risolto il problema nel dominio $s$ (con l'algebra), si ottiene una funzione $Y(s)$ , tipicamente una funzione razionale (rapporto di polinomi):

$Y(s) = \frac{N(s)}{D(s)}$

Per tornare nel dominio del tempo serve l'antitrasformata $y(t) = \mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}$ . Il metodo pratico è lo sviluppo in fratti semplici (o frazioni parziali):

si trovano le radici del denominatore $D(s)$ (i poli di $Y(s)$ );
si scompone $Y(s)$ in una somma di termini semplici, ciascuno del tipo $\frac{A}{s - p}$ (per ogni polo $p$ );
si antitrasforma ogni termine usando le trasformate note (soprattutto: $\frac{A}{s-p} \to A e^{pt}$ ).

Il risultato: $y(t)$ è una combinazione di esponenziali $e^{p_i t}$ (una per ogni polo $p_i$ ). Questo è un punto fondamentale: i poli (le radici del denominatore) determinano la forma della risposta nel tempo:

polo reale negativo ( $p = -a$ ) → esponenziale decrescente $e^{-at}$ (converge: stabile);
polo reale positivo → esponenziale crescente (diverge: instabile);
poli complessi coniugati ( $p = -\sigma \pm j\omega$ ) → oscillazioni smorzate $e^{-\sigma t}\sin(\omega t)$ (se $\sigma > 0$ ).

⚠️ Questa corrispondenza poli ↔ comportamento è il collegamento più importante di tutta l'automatica: guardando dove stanno i poli nel piano complesso, si "legge" come si comporta il sistema (cap. 4, 5, 6).

🔗 Analogia. Dopo aver risolto il problema nella "lingua facile" (dominio $s$ ), bisogna ritradurre la risposta nella lingua di partenza (il tempo): è l'antitrasformata. Il risultato in $s$ è di solito una frazione (polinomio diviso polinomio), e il trucco per antitrasformarla è spezzarla in tante frazioni elementari (i "fratti semplici"), ciascuna facile da tradurre. È come scomporre un accordo musicale complicato nelle singole note che lo compongono: una volta separate, sai suonare ognuna. ⚠️ E qui emerge la scoperta più importante di tutto il corso. Le radici del denominatore — i poli — determinano la forma della risposta nel tempo, perché ogni polo $p$ produce un'esponenziale $e^{pt}$ . E il segno e la posizione del polo dicono tutto sul comportamento: un polo con parte reale negativa dà un'esponenziale che si spegne (il sistema si calma → stabile); uno con parte reale positiva dà un'esponenziale che esplode (il sistema diverge → instabile); una coppia di poli complessi dà oscillazioni (smorzate se la parte reale è negativa). ⚠️ È il "collegamento magico" dell'automatica: dove si trovano i poli nel piano complesso ti dice come si comporta il sistema, senza nemmeno bisogno di calcolare la risposta nel dettaglio. Poli a sinistra (parte reale negativa) = sistema stabile che si calma; poli a destra = instabilità. Questa lettura "geometrica" del comportamento — dai poli al tempo — è la potenza del metodo di Laplace, e sarà il filo conduttore dei prossimi capitoli (funzione di trasferimento, risposta nel tempo, stabilità).

🗺️ Come si collega il tutto

Questo capitolo introduce la trasformata di Laplace, lo strumento che rende trattabile tutta l'analisi dei sistemi dinamici. L'idea è il cambio di dominio: dal tempo $t$ (dove regnano le equazioni differenziali, cap. 2) al dominio complesso $s$ (dove tutto diventa algebra). La proprietà chiave — derivata → moltiplicazione per $s$ — fa "sparire" le derivate, trasformando le equazioni differenziali in polinomiali. Con le trasformate dei segnali tipici (gradino $1/s$ , impulso $1$ , esponenziale $1/(s+a)$ ) e le proprietà (linearità, ritardo $e^{-sT}$ , teorema del valore finale) si risolve il problema in $s$ ; l'antitrasformata (sviluppo in fratti semplici) riporta al tempo, rivelando che la risposta è una combinazione di esponenziali governate dai poli (radici del denominatore). La corrispondenza poli ↔ comportamento (poli a parte reale negativa = stabile; positiva = instabile; complessi = oscillazioni) è il collegamento cardine di tutto il corso. Questo strumento apre i capitoli successivi: applicato al modello (cap. 2) dà la funzione di trasferimento (cap. 4, il rapporto $Y(s)/U(s)$ , con i suoi poli e zeri); i poli determinano la risposta nel tempo (cap. 5) e la stabilità (cap. 6, poli nel semipiano sinistro); la variabile $s = j\omega$ porterà alla risposta in frequenza (cap. 8). Capire Laplace è impadronirsi del linguaggio dei controlli. Il prossimo capitolo usa la trasformata per definire il concetto centrale dell'automatica classica: la funzione di trasferimento.

🔑 Concetti chiave

Termine	In una frase	Da non confondere con
Trasformata di Laplace	Passa dal dominio del tempo $t$ al dominio complesso $s$	Trasformata di Fourier (solo $j\omega$ )
Dominio $s$	Dominio della frequenza complessa, dove tutto è algebrico	Dominio del tempo (equazioni differenziali)
Derivata → $\times s$	La proprietà che elimina le derivate	Integrale → $\div s$
Teorema del valore finale	$\lim_{t\to\infty} f = \lim_{s\to 0} sF(s)$ : valore a regime	Valore iniziale ( $s\to\infty$ )
Antitrasformata	Torna dal dominio $s$ al tempo	Trasformata (dal tempo a $s$ )
Fratti semplici	Scomporre $Y(s)$ in termini elementari per antitrasformare	—
Poli	Radici del denominatore; determinano la forma della risposta	Zeri (radici del numeratore)

📝 Riepilogo

La trasformata di Laplace $F(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$ passa dal dominio del tempo $t$ (equazioni differenziali, difficili) al dominio complesso $s$ (algebra, facile). Strategia: trasforma → risolvi con l'algebra → antitrasforma.
Proprietà chiave: la derivata diventa moltiplicazione per $s$ ( $\mathcal{L}\{\dot f\} = sF(s)$ con c.i. nulle), l'integrale una divisione per $s$ : così le equazioni differenziali diventano algebriche. Altre: linearità, ritardo ( $e^{-sT}$ ), teorema del valore finale ( $\lim_{s\to0}sF(s)$ ).
Segnali tipici: impulso $\to 1$ , gradino $\to 1/s$ , rampa $\to 1/s^2$ , esponenziale $\to 1/(s+a)$ , sinusoide $\to \omega/(s^2+\omega^2)$ .
L'antitrasformata si fa con lo sviluppo in fratti semplici: la risposta $y(t)$ è una combinazione di esponenziali $e^{p_i t}$ , una per ogni polo $p_i$ (radice del denominatore). Corrispondenza poli ↔ comportamento: parte reale negativa → converge (stabile), positiva → diverge (instabile), poli complessi → oscillazioni. È il collegamento cardine dell'automatica.

▶️ Prossimo capitolo: La funzione di trasferimento — il concetto centrale dell'automatica classica: il rapporto tra uscita e ingresso nel dominio s, con i suoi poli e zeri che ne rivelano il comportamento.

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La funzione di trasferimento

In breve

La funzione di trasferimento è l'oggetto centrale dei controlli automatici classici: un modo compatto per descrivere come un sistema dinamico lineare trasforma un ingresso in un'uscita. Applicando la trasformata di Laplace all'equazione differenziale del sistema (con condizioni iniziali nulle), le derivate diventano moltiplicazioni per $s$ e l'equazione differenziale si trasforma in un'equazione algebrica. Il rapporto tra la trasformata dell'uscita e quella dell'ingresso, $G(s) = Y(s)/U(s)$ , è la funzione di trasferimento: una frazione di polinomi in $s$ . Le radici del denominatore (i poli) governano la forma della risposta e la stabilità; le radici del numeratore (gli zeri) modellano come i diversi modi vengono eccitati. In una sola espressione razionale è racchiuso tutto il comportamento dinamico del sistema.

🎯 Alla fine di questo capitolo saprai:

ricavare la funzione di trasferimento $G(s)$ da un'equazione differenziale;

distinguere poli e zeri e capire cosa rappresentano;

leggere il guadagno statico e l'ordine del sistema;

collegare la posizione dei poli nel piano complesso al comportamento nel tempo;

riconoscere le forme canoniche (primo e secondo ordine).

Dall'equazione differenziale a $G(s)$

Perché conta: è il ponte che porta dal mondo del tempo (equazioni differenziali, difficili) al mondo di $s$ (algebra, facile). Impararlo bene rende tutto il resto del corso più semplice.

Consideriamo un sistema lineare tempo-invariante descritto da un'equazione differenziale che lega l'ingresso $u(t)$ all'uscita $y(t)$ . Per esempio, un sistema del secondo ordine:

$a_2 \ddot y + a_1 \dot y + a_0 y = b_1 \dot u + b_0 u$

Applichiamo la trasformata di Laplace a entrambi i membri, assumendo condizioni iniziali nulle (il sistema parte a riposo). Ricordando che $\mathcal{L}\{\dot f\} = sF(s)$ e $\mathcal{L}\{\ddot f\} = s^2 F(s)$ :

$a_2 s^2 Y(s) + a_1 s Y(s) + a_0 Y(s) = b_1 s U(s) + b_0 U(s)$

Raccogliamo $Y(s)$ e $U(s)$ :

$(a_2 s^2 + a_1 s + a_0)\, Y(s) = (b_1 s + b_0)\, U(s)$

📌 Definizione formale. La funzione di trasferimento è il rapporto tra la trasformata dell'uscita e quella dell'ingresso, a condizioni iniziali nulle:

$\boxed{G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_1 s + b_0}{a_2 s^2 + a_1 s + a_0}}$

In generale è una funzione razionale (rapporto di polinomi):

$G(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \frac{b_m s^m + \dots + b_1 s + b_0}{a_n s^n + \dots + a_1 s + a_0}$

🧩 Esempio. Il circuito RC del capitolo 2, con equazione $\tau \dot y + y = u$ (dove $\tau = RC$ ), diventa $(\tau s + 1) Y(s) = U(s)$ , cioè:

$G(s) = \frac{1}{\tau s + 1}$

Un solo polo in $s = -1/\tau$ . È il mattone elementare del primo ordine.

⚠️ Attenzione. La funzione di trasferimento esiste solo per sistemi lineari tempo-invarianti e presuppone condizioni iniziali nulle. Se il sistema è non lineare (per esempio contiene un termine $y^2$ o $\sin y$ ), $G(s)$ non è definita: bisogna prima linearizzare attorno a un punto di lavoro.

Poli, zeri e guadagno

Perché conta: poli e zeri sono le "coordinate" che identificano un sistema. Sapendoli leggere si predice il comportamento senza risolvere alcuna equazione differenziale.

Scriviamo $G(s)$ in forma fattorizzata, mettendo in evidenza le radici di numeratore e denominatore:

$G(s) = K \frac{(s - z_1)(s - z_2)\cdots(s - z_m)}{(s - p_1)(s - p_2)\cdots(s - p_n)}$

📌 Definizione formale.

Gli zeri $z_1, \dots, z_m$ sono le radici del numeratore $N(s)$ : valori di $s$ per cui $G(s) = 0$ .
I poli $p_1, \dots, p_n$ sono le radici del denominatore $D(s)$ : valori di $s$ per cui $G(s) \to \infty$ .
$K$ è una costante di guadagno.

🔗 Analogia. Immagina $|G(s)|$ come la quota di un terreno sul piano complesso: i poli sono picchi che salgono all'infinito (montagne), gli zeri sono depressioni che scendono a zero (pozzi). La "forma del terreno" attorno all'asse immaginario determina come il sistema risponde alle diverse frequenze.

I poli comandano. La posizione dei poli nel piano complesso decide la forma della risposta libera:

Poli	Comportamento
Reali negativi	Modi che decadono (esponenziali smorzati), sistema stabile
Reali positivi	Modi che crescono (esponenziali divergenti), instabile
Complessi coniugati, parte reale $<0$	Oscillazioni smorzate
Complessi coniugati, parte reale $>0$	Oscillazioni crescenti, instabile
Immaginari puri	Oscillazioni persistenti (limite di stabilità)
Nell'origine ( $s=0$ )	Comportamento integratore

⚠️ Attenzione. La stabilità dipende solo dai poli, non dagli zeri. Regola d'oro (che ritroveremo al capitolo 6): un sistema è asintoticamente stabile se e solo se tutti i poli hanno parte reale negativa (stanno nel semipiano sinistro del piano complesso).

Il guadagno statico

Un parametro molto usato è il guadagno statico (o guadagno in continua): il rapporto uscita/ingresso a regime, quando l'ingresso è costante. Grazie al teorema del valore finale, si ottiene ponendo $s = 0$ :

$K_{\text{stat}} = G(0) = \lim_{s \to 0} G(s)$

🧩 Esempio. Per $G(s) = \dfrac{5}{2s + 1}$ il guadagno statico è $G(0) = 5$ : se applico un gradino di ampiezza $1$ , a regime l'uscita vale $5$ . Il polo in $s = -1/2$ dice invece che ci arriva con costante di tempo $\tau = 2$ secondi.

Ordine, tipo e proprietà

Perché conta: poche caratteristiche numeriche (ordine, tipo, grado relativo) classificano il sistema e anticipano proprietà importanti come la realizzabilità fisica e l'errore a regime.

Ordine del sistema = grado del denominatore $n$ = numero di poli = numero di variabili di stato indipendenti (vedi cap. 12). Misura la "memoria" dinamica del sistema.
Tipo del sistema = numero di poli nell'origine ( $s = 0$ ), cioè quanti integratori contiene. Il tipo determina la capacità di annullare l'errore a regime (cap. 5 e 7).
Grado relativo = $n - m$ (differenza tra numero di poli e numero di zeri).

📌 Definizione formale. Un sistema si dice proprio se $n \ge m$ (grado del denominatore $\ge$ grado del numeratore), strettamente proprio se $n > m$ . I sistemi fisici reali sono sempre almeno propri.

⚠️ Attenzione. Un sistema con $m > n$ (più zeri che poli) sarebbe non causale/non realizzabile: implicherebbe che l'uscita anticipi l'ingresso (derivate pure). In pratica ogni componente fisico ha inerzia e non può derivare all'infinito: per questo i modelli reali sono strettamente propri.

La risposta impulsiva

C'è un legame elegante con il dominio del tempo: la funzione di trasferimento è la trasformata di Laplace della risposta impulsiva $g(t)$ , cioè l'uscita quando l'ingresso è un impulso $\delta(t)$ :

$G(s) = \mathcal{L}\{g(t)\}, \qquad Y(s) = G(s)\,U(s) \ \Leftrightarrow\ y(t) = g(t) * u(t)$

Nel dominio del tempo il prodotto $G(s)U(s)$ corrisponde a una convoluzione. Questo spiega perché lavorare in $s$ è così comodo: trasforma le convoluzioni (difficili) in semplici moltiplicazioni.

🔗 Analogia. La funzione di trasferimento è come il "DNA" del sistema: un'espressione compatta che, moltiplicata per qualunque ingresso, genera la risposta corrispondente. Conoscere $G(s)$ significa conoscere il sistema in ogni condizione.

Le forme canoniche

Perché conta: quasi ogni sistema reale si riconduce, o si approssima, a combinazioni di due mattoni: il primo e il secondo ordine. Conoscerli a memoria permette di leggere il comportamento a colpo d'occhio.

Primo ordine

$G(s) = \frac{K}{\tau s + 1}$

Un polo reale in $s = -1/\tau$ . Il parametro $\tau > 0$ è la costante di tempo: più è piccola, più il sistema è veloce. Guadagno statico $K$ . Risposta al gradino: esponenziale che sale al valore $K$ senza oscillare (cap. 5).

Secondo ordine

$G(s) = \frac{K\,\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$

Due parametri chiave:

$\omega_n$ = pulsazione naturale (rapidità intrinseca);
$\zeta$ = coefficiente di smorzamento (quanto oscilla).

I poli valgono $p_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2 - 1}$ , e la loro natura dipende da $\zeta$ :

$\zeta$	Poli	Risposta
$\zeta > 1$	Reali distinti	Sovrasmorzata (lenta, no oscillazioni)
$\zeta = 1$	Reali coincidenti	Criticamente smorzata (più veloce senza oscillare)
$0 < \zeta < 1$	Complessi coniugati	Sottosmorzata (oscillazioni smorzate)
$\zeta = 0$	Immaginari puri	Oscillazione persistente

🧩 Esempio. Una sospensione d'auto è un secondo ordine: la massa (auto), la molla ( $\omega_n$ ) e l'ammortizzatore ( $\zeta$ ). Un ammortizzatore rotto ( $\zeta$ piccolo) fa "ballare" l'auto a lungo dopo una buca (poli complessi poco smorzati); uno ben tarato ( $\zeta \approx 0{,}7$ ) assorbe la buca rapidamente e senza rimbalzi.

🗺️ Come si collega il tutto

La funzione di trasferimento è il cuore del corso. Nasce dalla trasformata di Laplace (cap. 3) applicata al modello (cap. 2). Da essa discende tutto: la risposta nel tempo (cap. 5) si ottiene antitrasformando $G(s)U(s)$ ; la stabilità (cap. 6) si legge dalla posizione dei poli, cioè dalle radici del denominatore; gli schemi a blocchi (cap. 7) manipolano funzioni di trasferimento come blocchi algebrici; la risposta in frequenza (cap. 8) si ottiene valutando $G(j\omega)$ ; il luogo delle radici (cap. 10) traccia come i poli si spostano al variare del guadagno; il progetto del controllore (cap. 11) modella $G(s)$ per ottenere il comportamento voluto. Chi padroneggia poli, zeri e guadagno ha in mano l'intera disciplina.

🔑 Concetti chiave

Termine	In una frase	Da non confondere con
Funzione di trasferimento $G(s)$	Rapporto $Y(s)/U(s)$ a c.i. nulle, frazione di polinomi	Guadagno (è solo una costante)
Polo	Radice del denominatore; governa risposta e stabilità	Zero (radice del numeratore)
Zero	Radice del numeratore; modella l'eccitazione dei modi	Polo (opposto: annulla, non fa divergere)
Guadagno statico $G(0)$	Rapporto uscita/ingresso a regime	Guadagno $K$ della forma fattorizzata
Ordine	Numero di poli = grado del denominatore	Tipo (n. di poli nell'origine)
Costante di tempo $\tau$	Rapidità del primo ordine; polo in $-1/\tau$	Pulsazione naturale $\omega_n$ (secondo ordine)

📝 Riepilogo

La funzione di trasferimento $G(s) = Y(s)/U(s)$ si ricava trasformando l'equazione differenziale (c.i. nulle): le derivate diventano potenze di $s$ .
È una funzione razionale $N(s)/D(s)$ : le radici di $D(s)$ sono i poli, quelle di $N(s)$ gli zeri.
I poli governano forma della risposta e stabilità: tutti a parte reale negativa ⇒ sistema stabile.
Il guadagno statico è $G(0)$ ; ordine = numero di poli; tipo = poli nell'origine.
I sistemi fisici sono strettamente propri ( $n > m$ ): non possono derivare all'infinito.
Due forme canoniche fondamentali: primo ordine ( $\tau$ , $K$ ) e secondo ordine ( $\omega_n$ , $\zeta$ ).

🎓 ▶️ Prossimo capitolo: La risposta nel tempo

Fondamenti di Automatica

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La risposta nel tempo

In breve

Conoscere la funzione di trasferimento $G(s)$ significa poter prevedere come si comporta il sistema nel tempo quando lo sollecitiamo. La risposta nel tempo si scompone in due parti: il transitorio (l'assestamento iniziale, che dipende dai poli) e il regime permanente (il comportamento stabile a lungo termine, che dipende dal tipo di ingresso e dal guadagno). Gli ingressi canonici — gradino, rampa, impulso — sono i "test standard" con cui si stimola il sistema. La risposta al gradino, in particolare, è la più usata: da essa si leggono parametri concreti come il tempo di salita, la sovraelongazione e il tempo di assestamento, che traducono la posizione dei poli in prestazioni misurabili. Questo capitolo collega la matematica di $G(s)$ al comportamento fisico osservabile.

🎯 Alla fine di questo capitolo saprai:

distinguere transitorio e regime permanente;

calcolare la risposta a gradino, impulso e rampa;

leggere i parametri della risposta al gradino (sovraelongazione, tempo di assestamento…);

usare i teoremi del valore iniziale e finale;

collegare $\zeta$ e $\omega_n$ alla forma della risposta del secondo ordine.

Ingressi canonici e struttura della risposta

Perché conta: per confrontare sistemi diversi serve un linguaggio comune. Gli ingressi canonici sono gli stimoli standardizzati con cui tutti misurano e specificano le prestazioni.

📌 Definizione formale. Gli ingressi canonici sono segnali di prova elementari:

Ingresso	$u(t)$	Trasformata $U(s)$	Cosa modella
Impulso	$\delta(t)$	$1$	Colpo istantaneo
Gradino	$1(t)$	$1/s$	Cambio brusco di riferimento
Rampa	$t$	$1/s^2$	Riferimento che cresce a velocità costante
Parabola	$t^2/2$	$1/s^3$	Riferimento ad accelerazione costante

La risposta si calcola sempre allo stesso modo: $Y(s) = G(s)\,U(s)$ , poi si antitrasforma (cap. 3, fratti semplici) per tornare a $y(t)$ .

📌 Definizione formale. La risposta di un sistema si scompone in:

risposta transitoria $y_t(t)$ : la parte che si esaurisce nel tempo (se il sistema è stabile, tende a zero). Dipende dai poli del sistema.
risposta a regime (permanente) $y_r(t)$ : la parte che rimane a lungo termine. Ha la forma dell'ingresso e dipende dal guadagno e dal tipo del sistema.

🔗 Analogia. Suona una campana: il "DON" iniziale che si smorza è il transitorio (dipende dalla campana, cioè dai suoi poli); se invece la tieni in vibrazione forzata con un motorino a frequenza costante, il suono stazionario che ne esce è il regime (ha la "forma" della forzante).

La risposta al gradino

Perché conta: è il test più usato in assoluto. Le specifiche di progetto di un controllore ("assestati entro 2 secondi con meno del 10% di sovraelongazione") si esprimono quasi sempre sulla risposta al gradino.

Primo ordine

Per $G(s) = \dfrac{K}{\tau s + 1}$ con ingresso a gradino unitario ( $U(s) = 1/s$ ):

$Y(s) = \frac{K}{\tau s + 1}\cdot\frac{1}{s} \quad\Longrightarrow\quad y(t) = K\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$

Una curva che sale esponenzialmente verso il valore finale $K$ , senza oscillare. Parametri notevoli:

dopo $t = \tau$ ha raggiunto il 63% del valore finale;
dopo $t = 3\tau$ circa il 95%; dopo $5\tau$ è praticamente a regime;
tempo di assestamento (al 5%): $t_a \approx 3\tau$ .

🧩 Esempio. Un termometro con $\tau = 4$ s immerso nell'acqua calda mostra il 63% dello scarto di temperatura dopo 4 s e si stabilizza (95%) dopo circa 12 s. Un $\tau$ più piccolo = strumento più pronto.

Secondo ordine sottosmorzato

Per $G(s) = \dfrac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$ con $0 < \zeta < 1$ , la risposta al gradino oscilla prima di stabilizzarsi. I parametri prestazionali (le "specifiche") sono:

📌 Definizione formale.

Sovraelongazione (overshoot) $S$ : massimo superamento percentuale del valore finale. $S = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times 100\%$ Dipende solo da $\zeta$ : più smorzamento, meno sovraelongazione.
Tempo di assestamento $t_a$ (al 5%): $t_a \approx \dfrac{3}{\zeta\omega_n}$ . Dipende dalla parte reale dei poli.
Tempo di salita $t_r$ : tempo per passare dal 10% al 90% (o da 0 al 100%); tanto più piccolo quanto più $\omega_n$ è grande.
Pulsazione delle oscillazioni (smorzata): $\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ .

⚠️ Attenzione. C'è un compromesso tipico: aumentare $\omega_n$ rende il sistema più veloce (minor $t_r$ ), ma se lo smorzamento $\zeta$ resta basso la sovraelongazione rimane alta. Un valore "di riferimento" spesso usato è $\zeta \approx 0{,}7$ , che dà un buon equilibrio tra velocità (poco tempo di salita) e sovraelongazione contenuta (~5%).

🔗 Analogia. Chiudi una porta con un chiudiporta pneumatico. Troppo debole (piccolo $\zeta$ ): la porta sbatte e rimbalza (sovraelongazione, oscilla). Troppo forte (grande $\zeta$ ): si chiude lentissima. Tarato bene (~0,7): si chiude rapida e si ferma dolce, senza sbattere.

Il regime permanente e l'errore

Perché conta: un conto è che il sistema si assesti, un altro è che si assesti al valore giusto. L'errore a regime misura quanto l'uscita "manca il bersaglio" a lungo termine — è la specifica di precisione.

I teoremi del valore iniziale e finale permettono di calcolare gli estremi della risposta senza antitrasformare:

📌 Definizione formale. $\text{valore iniziale:}\quad y(0^+) = \lim_{s\to\infty} sY(s) \qquad \text{valore finale:}\quad y(\infty) = \lim_{s\to 0} sY(s)$

(il valore finale vale solo se il sistema è stabile).

🧩 Esempio. Per $G(s)=\dfrac{5}{2s+1}$ e gradino unitario, $Y(s)=\dfrac{5}{s(2s+1)}$ . Valore finale: $\lim_{s\to0} s\cdot\dfrac{5}{s(2s+1)} = 5$ . Coincide col guadagno statico $G(0)=5$ , come atteso.

Errore a regime. In un sistema di controllo con retroazione (cap. 7), interessa l'errore $e = \text{riferimento} - \text{uscita}$ a regime. Regola pratica (legata al tipo del sistema, cap. 4):

Tipo (n. integratori)	Errore a gradino	Errore a rampa
0	costante finito	infinito
1	zero	costante finito
2	zero	zero

⚠️ Attenzione. Per annullare l'errore a regime a un gradino serve almeno un integratore (polo in $s=0$ ) nel ramo diretto. È il motivo per cui il controllore PID include quasi sempre un'azione integrale (cap. 11): "ricorda" l'errore accumulato e lo spinge a zero.

🗺️ Come si collega il tutto

La risposta nel tempo è l'uscita osservabile di tutto ciò che abbiamo costruito: si ottiene antitrasformando $G(s)U(s)$ (cap. 3–4). Il transitorio dipende dai poli, e quindi dalla stabilità (cap. 6): se un polo ha parte reale positiva, il transitorio non si smorza e la risposta diverge. Le specifiche lette qui (sovraelongazione, tempo di assestamento) diventano gli obiettivi di progetto che il controllore (cap. 11) deve soddisfare. Il luogo delle radici (cap. 10) mostra come spostare i poli per centrare $\zeta$ e $\omega_n$ desiderati. Il regime permanente e l'errore anticipano il ruolo della retroazione (cap. 7) nel migliorare la precisione.

🔑 Concetti chiave

Termine	In una frase	Da non confondere con
Transitorio	Parte della risposta che si esaurisce; dipende dai poli	Regime (parte che rimane)
Regime permanente	Comportamento a lungo termine; ha la forma dell'ingresso	Transitorio (si smorza)
Sovraelongazione	Massimo superamento % del valore finale; dipende da $\zeta$	Tempo di assestamento (dipende da $\zeta\omega_n$ )
Tempo di assestamento	Tempo per entrare (e restare) entro il ±5%	Tempo di salita (0→90%)
Errore a regime	Scarto uscita-riferimento a lungo termine	Sovraelongazione (fenomeno transitorio)
Teorema valore finale	$y(\infty)=\lim_{s\to0} sY(s)$	Valore iniziale ( $s\to\infty$ )

📝 Riepilogo

La risposta si calcola come $Y(s)=G(s)U(s)$ e poi si antitrasforma; si scompone in transitorio (poli) + regime (ingresso).
Ingressi canonici: impulso ( $1$ ), gradino ( $1/s$ ), rampa ( $1/s^2$ ).
Primo ordine al gradino: esponenziale al 63% dopo $\tau$ , assestamento $\approx 3\tau$ , nessuna oscillazione.
Secondo ordine sottosmorzato: oscilla; sovraelongazione dipende solo da $\zeta$ , tempo di assestamento $\approx 3/(\zeta\omega_n)$ .
Teoremi valore iniziale/finale danno gli estremi senza antitrasformare.
L'errore a regime dipende dal tipo: per annullare l'errore a gradino serve un integratore.

▶️ Prossimo capitolo: La stabilità e il criterio di Routh

Fondamenti di Automatica

Hai letto. Ora impara.

L'AI trasforma questo modulo in strumenti di studio personalizzati.

La stabilità e il criterio di Routh

In breve

La stabilità è la proprietà più importante di un sistema di controllo: un sistema instabile è inutilizzabile, perché la sua uscita cresce senza limite fino a saturare o rompere qualcosa. Per i sistemi lineari la stabilità ha una definizione precisa e legata a un solo dato: la posizione dei poli nel piano complesso. Se tutti i poli hanno parte reale negativa (stanno nel semipiano sinistro), i modi si smorzano e il sistema è asintoticamente stabile; se anche uno solo sta a destra, il sistema diverge. Il problema pratico è che calcolare i poli richiede di risolvere l'equazione caratteristica, difficile per gradi elevati. Il criterio di Routh-Hurwitz risolve la questione: permette di sapere quanti poli stanno nel semipiano destro senza calcolarli, guardando solo i coefficienti del denominatore. È lo strumento che consente di verificare la stabilità — e di trovare i limiti dei parametri di progetto — con pochi conti.

🎯 Alla fine di questo capitolo saprai:

definire la stabilità (BIBO e asintotica) e legarla ai poli;

enunciare la condizione dei poli nel semipiano sinistro;

costruire e leggere la tabella di Routh;

determinare la stabilità senza calcolare i poli;

trovare l'intervallo di un parametro (es. guadagno) che mantiene stabile il sistema.

Cos'è la stabilità

Perché conta: è il primo requisito, prima ancora della precisione o della velocità. Un controllo instabile non "funziona male": non funziona affatto, e può essere pericoloso.

📌 Definizione formale. Un sistema è stabile BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) se a ogni ingresso limitato corrisponde un'uscita limitata. È asintoticamente stabile se, allontanato dall'equilibrio e lasciato libero, vi ritorna spontaneamente (la risposta libera tende a zero).

Per i sistemi lineari tempo-invarianti le due nozioni coincidono e si traducono in una condizione sui poli:

📌 Condizione fondamentale. Un sistema LTI è asintoticamente stabile se e solo se tutti i poli della funzione di trasferimento hanno parte reale strettamente negativa:

$\text{Re}(p_i) < 0 \quad \text{per ogni polo } p_i$

cioè tutti i poli stanno nel semipiano sinistro del piano complesso.

🔗 Analogia. Una pallina in una valle (fondo di una scodella) è stabile: spostala e torna giù. Su una collina (cima convessa) è instabile: il minimo urto la fa rotolare via. Su un tavolo piatto è al limite (marginalmente stabile): resta dove la lasci ma non torna indietro. La "forma del paesaggio" attorno all'equilibrio è ciò che i poli codificano.

Poli	Stabilità
Tutti con $\text{Re} < 0$	Asintoticamente stabile
Almeno uno con $\text{Re} > 0$	Instabile
Poli semplici sull'asse immaginario (resto a sinistra)	Marginalmente stabile (oscilla senza smorzarsi)
Poli multipli sull'asse immaginario	Instabile

⚠️ Attenzione. La stabilità dipende solo dal denominatore di $G(s)$ (l'equazione caratteristica $D(s)=0$ ), non dal numeratore. Gli zeri modellano la risposta ma non decidono la stabilità.

L'equazione caratteristica e il problema pratico

Perché conta: sapere che la stabilità dipende dai poli non basta: bisogna poterla verificare in pratica, anche quando i poli non si calcolano a mano.

📌 Definizione formale. L'equazione caratteristica è l'equazione ottenuta ponendo il denominatore uguale a zero:

$D(s) = a_n s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \dots + a_1 s + a_0 = 0$

Le sue radici sono i poli. Per $n \le 2$ si risolve a mano; per $n = 3, 4$ diventa laborioso; per $n \ge 5$ non esiste una formula generale (teorema di Abel-Ruffini). Serve un metodo che dica se le radici stanno a sinistra senza risolverle.

Condizione necessaria (non sufficiente). Perché tutte le radici abbiano parte reale negativa è necessario che tutti i coefficienti $a_i$ siano presenti e dello stesso segno. Se manca un coefficiente o ce n'è uno di segno opposto, il sistema è certamente instabile. Ma questa condizione da sola non basta a garantire la stabilità: serve Routh.

Il criterio di Routh-Hurwitz

Perché conta: è lo strumento che rende la verifica di stabilità un calcolo meccanico, e — cosa preziosa in progettazione — permette di trovare i valori limite di un parametro (come il guadagno) che tengono il sistema stabile.

📌 Criterio di Routh. Il numero di radici dell'equazione caratteristica con parte reale positiva è pari al numero di cambiamenti di segno nella prima colonna della tabella di Routh. Il sistema è stabile ⟺ tutti gli elementi della prima colonna hanno lo stesso segno (nessun cambio di segno).

Come si costruisce la tabella

Dato $D(s) = a_n s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \dots + a_0$ , si dispongono i coefficienti su due righe alternate e si generano le righe successive:

\begin{array}{c|ccc} s^n & a_n & a_{n-2} & a_{n-4} \\ s^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} \\ s^{n-2} & b_1 & b_2 & \dots \\ s^{n-3} & c_1 & c_2 & \dots \\ \vdots & \vdots & & \\ s^0 & \dots & & \end{array}

Ogni nuovo elemento è un determinante $2\times2$ diviso per l'elemento sopra a sinistra, per esempio:

$b_1 = \frac{a_{n-1}a_{n-2} - a_n a_{n-3}}{a_{n-1}}, \qquad b_2 = \frac{a_{n-1}a_{n-4} - a_n a_{n-5}}{a_{n-1}}$

Si prosegue riga per riga fino a $s^0$ .

🧩 Esempio. $D(s) = s^3 + 2s^2 + 3s + 1$ . Tabella:

\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 3 \\ s^2 & 2 & 1 \\ s^1 & \frac{2\cdot3 - 1\cdot1}{2}=2{,}5 & 0 \\ s^0 & 1 & \end{array}

Prima colonna: $1,\ 2,\ 2{,}5,\ 1$ — tutti positivi, nessun cambio di segno ⇒ il sistema è stabile (tutti i poli a sinistra). E questo senza aver calcolato una sola radice.

⚠️ Attenzione (casi particolari). Se in prima colonna compare uno zero ma la riga non è tutta nulla, si sostituisce con un $\varepsilon$ piccolo e si studia il segno al limite. Se un'intera riga si annulla, indica poli simmetrici rispetto all'origine (spesso una coppia immaginaria pura, cioè limite di stabilità): si usa il polinomio ausiliario costruito dalla riga precedente.

Routh come strumento di progetto

Perché conta: qui il criterio smette di essere una verifica e diventa uno strumento di sintesi: dà l'intervallo di valori ammissibili di un parametro regolabile.

Quando il denominatore contiene un parametro incognito (tipicamente il guadagno $K$ del controllore), si costruisce la tabella lasciando $K$ simbolico e si impone che la prima colonna resti tutta positiva. Si ottengono così le disuguaglianze che definiscono l'intervallo di stabilità.

🧩 Esempio. Se dall'analisi di Routh di un sistema in retroazione risulta la condizione $0 < K < K_{\max}$ , allora:

per $K$ nell'intervallo il sistema è stabile;
per $K = K_{\max}$ due poli attraversano l'asse immaginario: il sistema è al limite di stabilità e oscilla con ampiezza costante;
per $K > K_{\max}$ il sistema è instabile.

Questo valore $K_{\max}$ (guadagno critico) e la frequenza di oscillazione associata sono anche il punto di partenza di metodi di taratura pratici del PID (regole di Ziegler-Nichols, cap. 11).

🔗 Analogia. Alzare il guadagno è come stringere di più una vite di reazione: entro un certo limite il sistema risponde meglio, ma oltre il punto critico comincia a "risuonare" e poi a impazzire. Routh dice esattamente dov'è quel punto senza doverci arrivare per tentativi.

🗺️ Come si collega il tutto

La stabilità è il cardine che collega analisi e progetto. Nasce dalla posizione dei poli (cap. 4) e determina se il transitorio (cap. 5) si smorza o diverge. Il criterio di Routh lavora sull'equazione caratteristica, che in un sistema retroazionato (cap. 7) è $1 + G(s)H(s) = 0$ : è lì che il guadagno d'anello entra in gioco. Gli altri criteri del corso studiano la stessa proprietà da angolazioni diverse: Nyquist (cap. 9) la legge dalla risposta in frequenza, il luogo delle radici (cap. 10) mostra graficamente come i poli attraversano l'asse immaginario al crescere del guadagno — proprio il punto critico che Routh individua algebricamente. La stabilità è la prima specifica che ogni controllore (cap. 11) deve garantire.

🔑 Concetti chiave

Termine	In una frase	Da non confondere con
Stabilità asintotica	La risposta libera torna a zero; tutti i poli a sinistra	Stabilità marginale (oscilla, non si smorza)
Equazione caratteristica	$D(s)=0$ : le sue radici sono i poli	Numeratore (dà gli zeri, non conta per la stabilità)
Semipiano sinistro	Regione $\text{Re}(s)<0$ : poli stabili	Semipiano destro (poli instabili)
Criterio di Routh	Conta i poli instabili dai cambi di segno in 1ª colonna	Condizione necessaria (solo segni dei coefficienti)
Guadagno critico $K_{\max}$	Valore di $K$ al limite di stabilità	Guadagno statico (rapporto a regime)

📝 Riepilogo

Un sistema LTI è asintoticamente stabile ⟺ tutti i poli hanno parte reale negativa (semipiano sinistro).
La stabilità dipende solo dal denominatore (equazione caratteristica), non dagli zeri.
Condizione necessaria: tutti i coefficienti presenti e dello stesso segno (ma non basta).
Il criterio di Routh conta i poli instabili dai cambi di segno nella prima colonna della tabella, senza calcolare le radici.
Con un parametro simbolico, Routh fornisce l'intervallo di stabilità (es. $0<K<K_{\max}$ ): strumento di progetto.
Il guadagno critico $K_{\max}$ segna il passaggio all'instabilità e la frequenza di oscillazione al limite.

▶️ Prossimo capitolo: Schemi a blocchi e retroazione

Fondamenti di Automatica

Hai letto. Ora impara.

L'AI trasforma questo modulo in strumenti di studio personalizzati.

Schemi a blocchi e retroazione

In breve

I sistemi reali sono fatti di più componenti connessi tra loro: un sensore, un attuatore, un processo, un controllore. Gli schemi a blocchi sono il linguaggio grafico per rappresentare queste interconnessioni: ogni blocco è una funzione di trasferimento, le frecce sono i segnali, e regole algebriche permettono di ridurre uno schema complesso a un unico blocco equivalente. Il concetto centrale è la retroazione (feedback): misurare l'uscita, confrontarla con il riferimento desiderato e usare l'errore per correggere. La retroazione è l'idea più potente dell'automatica: rende il sistema capace di inseguire obiettivi, respingere disturbi e ridurre la sensibilità alle incertezze, il tutto in modo automatico. Questo capitolo mostra come si combinano i blocchi e perché il controllo in anello chiuso è tanto superiore a quello in anello aperto.

🎯 Alla fine di questo capitolo saprai:

leggere e semplificare uno schema a blocchi;

ricavare la funzione di trasferimento ad anello chiuso;

distinguere anello aperto e anello chiuso;

capire i vantaggi della retroazione (inseguimento, disturbi, robustezza);

riconoscere retroazione negativa e positiva.

Il linguaggio degli schemi a blocchi

Perché conta: è il modo standard con cui ingegneri di ogni settore comunicano un sistema di controllo. Saperlo leggere e ridurre è indispensabile per analizzare qualunque architettura.

📌 Definizione formale. Uno schema a blocchi è composto da:

blocchi: rettangoli contenenti una funzione di trasferimento; moltiplicano il segnale in ingresso;
linee/frecce: trasportano i segnali (nel dominio di $s$ );
nodi sommatori: cerchi che sommano/sottraggono segnali (con i segni $+$ / $-$ );
punti di diramazione: dove un segnale si sdoppia verso più rami.

Regole di riduzione

Configurazione	Blocco equivalente
Serie (cascata) $G_1$ poi $G_2$	$G_1 G_2$ (prodotto)
Parallelo $G_1$ e $G_2$ sommati	$G_1 + G_2$ (somma)
Retroazione (anello) con $G$ diretto e $H$ di ritorno	$\dfrac{G}{1 \pm GH}$

⚠️ Attenzione. I blocchi in serie si moltiplicano solo se non c'è carico tra loro che alteri il comportamento (ipotesi di non interazione). In serie l'ordine non conta algebricamente ( $G_1G_2 = G_2G_1$ ), ma fisicamente sì: un amplificatore prima o dopo un filtro dà rumori diversi.

L'anello chiuso: la formula fondamentale

Perché conta: la formula della retroazione è probabilmente l'equazione più usata di tutto il corso. Da essa dipendono stabilità, precisione e prestazioni del sistema controllato.

Consideriamo lo schema classico: riferimento $R(s)$ , nodo sommatore che calcola l'errore $E = R - HY$ , blocco diretto $G(s)$ (controllore + processo), uscita $Y$ , e ramo di retroazione $H(s)$ (il sensore).

Dalle relazioni $Y = G E$ ed $E = R - H Y$ si ricava:

$Y = G(R - HY) \ \Longrightarrow\ Y(1 + GH) = GR$

📌 Definizione formale. La funzione di trasferimento ad anello chiuso è:

$\boxed{W(s) = \frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)}}$

Il prodotto $L(s) = G(s)H(s)$ si chiama funzione d'anello (guadagno d'anello). Il denominatore $1 + L(s)$ è cruciale:

📌 Equazione caratteristica dell'anello chiuso: $1 + G(s)H(s) = 0$

Le sue radici sono i poli dell'anello chiuso, che determinano stabilità e comportamento del sistema controllato. È su questa equazione che agiscono Routh (cap. 6), Nyquist (cap. 9) e il luogo delle radici (cap. 10).

🧩 Esempio. Con retroazione unitaria ( $H = 1$ ) e $G(s) = \dfrac{K}{s(s+2)}$ , l'anello chiuso è $W(s) = \dfrac{K}{s^2 + 2s + K}$ . Confrontando col secondo ordine canonico: $\omega_n = \sqrt{K}$ e $2\zeta\omega_n = 2$ , cioè $\zeta = 1/\sqrt{K}$ . Aumentando $K$ il sistema diventa più veloce ( $\omega_n$ cresce) ma meno smorzato ( $\zeta$ cala, più oscillazioni): ecco il compromesso in azione.

Anello aperto vs anello chiuso

Perché conta: capire perché la retroazione è superiore chiarisce l'intero senso della disciplina — non è un dettaglio tecnico, è la ragione per cui i controlli automatici funzionano nel mondo reale, pieno di disturbi e incertezze.

📌 Definizione formale.

Controllo ad anello aperto (open loop): il comando è calcolato solo in base al riferimento, senza misurare l'uscita. Semplice ma "cieco".
Controllo ad anello chiuso (closed loop, in retroazione): l'uscita è misurata e confrontata col riferimento; l'errore guida la correzione. "Vede" ciò che accade.

🔗 Analogia. Anello aperto: cuoci la pasta impostando un timer fisso senza mai assaggiarla — se l'acqua bolliva piano, viene cruda. Anello chiuso: assaggi ogni minuto e spegni quando è al dente — ti adatti a qualunque condizione. La retroazione è "l'assaggio" che chiude il cerchio.

I vantaggi della retroazione negativa:

Vantaggio	Come lo ottiene
Inseguimento del riferimento	Corregge finché l'errore non si annulla
Reiezione dei disturbi	Misura l'effetto del disturbo sull'uscita e lo compensa
Robustezza alle incertezze	Riduce la sensibilità del sistema alle variazioni di $G$
Correzione errore a regime	Con un integratore nel ramo diretto, azzera l'errore a gradino

⚠️ Attenzione (il prezzo). La retroazione non è gratis: può rendere instabile un sistema che ad anello aperto era stabile. Aumentando troppo il guadagno d'anello, i poli dell'anello chiuso possono attraversare l'asse immaginario (cap. 6, 9, 10). Il progetto del controllore (cap. 11) consiste proprio nel trovare il compromesso tra prestazioni (guadagno alto) e stabilità (margini adeguati).

Retroazione negativa e positiva

Negativa (segno $-$ al sommatore, denominatore $1 + GH$ ): stabilizzante, riduce l'errore. È quella usata nel controllo.
Positiva (segno $+$ , denominatore $1 - GH$ ): amplifica, tende a divergere o a creare soglie/isteresi. Usata di proposito in oscillatori e circuiti a scatto, ma da evitare nel controllo di regolazione.

🗺️ Come si collega il tutto

Gli schemi a blocchi sono l'architettura in cui vivono tutte le funzioni di trasferimento (cap. 4): li combinano in serie, parallelo e anello. La formula dell'anello chiuso $W = G/(1+GH)$ produce la nuova equazione caratteristica $1+GH=0$ , il cui studio è la stabilità (cap. 6 con Routh). La risposta nel tempo (cap. 5) e l'errore a regime si calcolano su $W(s)$ , non più su $G$ isolato. La funzione d'anello $L=GH$ è protagonista dell'analisi in frequenza: i diagrammi di Bode (cap. 8) e il criterio di Nyquist (cap. 9) leggono la stabilità dell'anello chiuso guardando $L(j\omega)$ ; il luogo delle radici (cap. 10) traccia i poli di $W$ al variare del guadagno. Tutto il progetto (cap. 11) modella il controllore dentro il ramo diretto per plasmare $W(s)$ .

🔑 Concetti chiave

Termine	In una frase	Da non confondere con
Schema a blocchi	Rappresentazione grafica di blocchi (f.d.t.), segnali e nodi	Circuito elettrico (qui i blocchi sono astratti)
Anello chiuso $W$	$G/(1+GH)$ : sistema controllato con retroazione	Anello aperto (senza misura dell'uscita)
Funzione d'anello $L=GH$	Guadagno lungo tutto l'anello	Anello chiuso $W$ (include il $1+L$ al denominatore)
Equazione caratteristica	$1+GH=0$ : dà i poli dell'anello chiuso	Poli di $G$ (dell'anello aperto)
Retroazione negativa	Sottrae l'uscita: stabilizza e corregge	Positiva (somma: amplifica, diverge)

📝 Riepilogo

Gli schemi a blocchi si riducono con tre regole: serie ( $G_1G_2$ ), parallelo ( $G_1+G_2$ ), anello ( $G/(1\pm GH)$ ).
La funzione di trasferimento ad anello chiuso è $W(s)=\dfrac{G}{1+GH}$ ; l'equazione caratteristica è $1+GH=0$ .
Il controllo in anello chiuso batte l'anello aperto: insegue il riferimento, respinge i disturbi, è robusto alle incertezze.
Un integratore nel ramo diretto azzera l'errore a regime al gradino.
La retroazione negativa stabilizza; alzare troppo il guadagno può però rendere instabile l'anello chiuso — da qui il compromesso di progetto.

▶️ Prossimo capitolo: La risposta in frequenza e i diagrammi di Bode

Fondamenti di Automatica

Hai letto. Ora impara.

L'AI trasforma questo modulo in strumenti di studio personalizzati.

La risposta in frequenza e i diagrammi di Bode

In breve

Finora abbiamo studiato come un sistema risponde nel tempo a gradini e impulsi. Un punto di vista complementare — spesso più potente per il progetto — è la risposta in frequenza: come il sistema tratta gli ingressi sinusoidali di diversa frequenza. Un sistema lineare, sollecitato da una sinusoide, risponde a regime con una sinusoide della stessa frequenza, ma con ampiezza e fase modificate. Quanto le modifica lo dice la funzione di trasferimento valutata sull'asse immaginario, $G(j\omega)$ : il suo modulo è il guadagno, la sua fase è lo sfasamento, entrambi in funzione della pulsazione $\omega$ . I diagrammi di Bode rappresentano modulo (in decibel) e fase (in gradi) al variare di $\omega$ su scala logaritmica, con la comodità che i contributi dei singoli fattori si sommano. Sono lo strumento principe per capire filtri, banda passante e — soprattutto — per progettare controllori valutando i margini di stabilità.

🎯 Alla fine di questo capitolo saprai:

definire la risposta in frequenza $G(j\omega)$ ;

leggere modulo (dB) e fase di un diagramma di Bode;

tracciare i Bode per approssimazioni asintotiche;

riconoscere banda passante e comportamento da filtro;

collegare i Bode all'analisi di stabilità dell'anello.

Dalla trasformata alla risposta in frequenza

Perché conta: è il ponte tra il dominio di $s$ e il mondo fisico dei segnali oscillanti — suoni, vibrazioni, correnti alternate — e il fondamento del progetto "in frequenza" dei controllori.

📌 Definizione formale. La risposta in frequenza di un sistema con funzione di trasferimento $G(s)$ è la funzione complessa ottenuta ponendo $s = j\omega$ :

$G(j\omega) = |G(j\omega)|\, e^{\,j\angle G(j\omega)}$

il modulo $|G(j\omega)|$ è il fattore di amplificazione dell'ampiezza alla pulsazione $\omega$ ;
la fase $\angle G(j\omega)$ è lo sfasamento introdotto (in ritardo se negativa).

📌 Proprietà fondamentale (risposta armonica). Se all'ingresso applico $u(t) = A\sin(\omega t)$ , a regime l'uscita di un sistema lineare stabile è:

$y(t) = A\,|G(j\omega)|\,\sin\!\big(\omega t + \angle G(j\omega)\big)$

Stessa frequenza, ampiezza moltiplicata per $|G(j\omega)|$ , fase traslata di $\angle G(j\omega)$ .

🔗 Analogia. Un equalizzatore audio: alza alcune frequenze e ne abbassa altre. $|G(j\omega)|$ è esattamente la "curva dell'equalizzatore" del sistema — dice quali frequenze passano forti e quali vengono attenuate. La fase dice di quanto ogni frequenza viene "ritardata".

🧩 Esempio. Il primo ordine $G(s)=\dfrac{1}{\tau s+1}$ dà $G(j\omega)=\dfrac{1}{1+j\omega\tau}$ . Alle basse frequenze ( $\omega\ll1/\tau$ ) modulo $\approx 1$ (passa tutto); alle alte ( $\omega\gg1/\tau$ ) il modulo cala come $1/\omega$ (attenua). È un filtro passa-basso: lascia passare i segnali lenti e taglia quelli veloci.

I diagrammi di Bode

Perché conta: trasformano moltiplicazioni difficili in somme facili e permettono di tracciare a mano il comportamento in frequenza di sistemi anche complessi, leggendo direttamente banda e margini.

📌 Definizione formale. I diagrammi di Bode sono due grafici con la pulsazione $\omega$ in scala logaritmica sull'asse orizzontale:

diagramma dei moduli: $|G(j\omega)|$ espresso in decibel, $\ |G|_{dB} = 20\log_{10}|G(j\omega)|$ ;
diagramma delle fasi: $\angle G(j\omega)$ in gradi.

Perché i decibel e il logaritmo? Perché il modulo di un prodotto è la somma dei logaritmi: se $G = G_1 G_2 G_3$ , allora $|G|_{dB} = |G_1|_{dB} + |G_2|_{dB} + |G_3|_{dB}$ e $\angle G = \angle G_1 + \angle G_2 + \angle G_3$ . Ogni fattore elementare si traccia da solo e i contributi si sommano graficamente.

Comportamento asintotico dei fattori elementari

Fattore	Modulo (pendenza)	Fase
Guadagno $K$	retta orizzontale a $20\log K$	$0°$ (se $K>0$ )
Polo nell'origine $1/s$	$-20$ dB/decade	$-90°$
Zero nell'origine $s$	$+20$ dB/decade	$+90°$
Polo reale $1/(1+s\tau)$	$0$ fino a $\omega=1/\tau$ , poi $-20$ dB/dec	da $0°$ a $-90°$
Zero reale $(1+s\tau)$	$0$ fino a $\omega=1/\tau$ , poi $+20$ dB/dec	da $0°$ a $+90°$
Coppia di poli complessi	$0$ , poi $-40$ dB/dec (picco se $\zeta$ piccolo)	da $0°$ a $-180°$

📌 Definizione formale. La pulsazione di taglio (o di rottura) di un polo/zero reale è $\omega = 1/\tau$ : il punto dove la pendenza del diagramma dei moduli cambia. È l'ascissa attorno a cui il sistema "cambia regime".

⚠️ Attenzione. I poli complessi poco smorzati ( $\zeta$ piccolo) producono un picco di risonanza nel diagramma dei moduli attorno a $\omega_n$ : il sistema amplifica selettivamente quelle frequenze. È il fenomeno della risonanza — utile nei filtri, pericoloso nelle strutture meccaniche.

Banda passante e filtri

Perché conta: la banda passante misura la "velocità" del sistema nel linguaggio delle frequenze ed è una specifica di progetto tanto quanto il tempo di assestamento nel dominio del tempo.

📌 Definizione formale. La banda passante è l'intervallo di frequenze che il sistema lascia passare senza attenuarle in modo significativo — convenzionalmente fino al punto in cui il modulo scende di $3$ dB (cioè a $\approx 0{,}707$ del valore in continua). La pulsazione di taglio a $-3$ dB ne segna il confine.

Legame con il tempo: più larga è la banda, più veloce è il sistema. Un sistema con banda ampia risponde in fretta ai cambiamenti (piccolo tempo di salita) ma lascia passare anche più rumore ad alta frequenza. Ecco un altro compromesso tipico del progetto.

I sistemi si classificano per come filtrano:

Tipo	Cosa passa
Passa-basso	Le basse frequenze (segnali lenti); attenua le alte
Passa-alto	Le alte frequenze; attenua le basse (blocca la continua)
Passa-banda	Solo un intervallo attorno a una frequenza centrale

🧩 Esempio. Un sistema di controllo di posizione ha tipicamente comportamento passa-basso: insegue bene i riferimenti lenti (un braccio robotico che si sposta da A a B) ma non può inseguire vibrazioni rapidissime — che infatti vengono filtrate. La banda passante dice fin dove arriva la sua prontezza.

🗺️ Come si collega il tutto

La risposta in frequenza è la funzione di trasferimento (cap. 4) letta su $s=j\omega$ : è la stessa informazione dei poli e zeri, vista dal lato delle frequenze. È il complemento in frequenza della risposta nel tempo (cap. 5): banda larga ⟷ risposta veloce, picco di risonanza ⟷ sovraelongazione. Applicata alla funzione d'anello $L(j\omega)=G(j\omega)H(j\omega)$ (cap. 7), fornisce i dati per il criterio di Nyquist e i margini di stabilità (cap. 9), che si leggono direttamente sui diagrammi di Bode di $L$ . Il progetto del controllore (cap. 11), nell'approccio "in frequenza", consiste nel modellare il diagramma di Bode dell'anello (loop shaping) per ottenere banda e margini voluti. I Bode sono così lo strumento operativo che unisce analisi e sintesi.

🔑 Concetti chiave

Termine	In una frase	Da non confondere con
Risposta in frequenza $G(j\omega)$	$G(s)$ valutata su $s=j\omega$ : modulo e fase vs $\omega$	Risposta nel tempo (dominio $t$ )
Diagramma di Bode	Modulo (dB) e fase (°) su scala log di $\omega$	Diagramma di Nyquist (piano complesso, cap. 9)
Decibel	$20\log_{10}	G
Pulsazione di taglio	$\omega=1/\tau$ : dove cambia la pendenza dei moduli	Pulsazione naturale $\omega_n$ (risonanza)
Banda passante	Intervallo di frequenze passanti (fino a $-3$ dB)	Guadagno statico (valore a $\omega=0$ )

📝 Riepilogo

La risposta in frequenza $G(j\omega)$ dà modulo (amplificazione) e fase (sfasamento) alla pulsazione $\omega$ .
Un sistema lineare risponde a una sinusoide con una sinusoide di stessa frequenza, ampiezza $\times|G(j\omega)|$ e fase $+\angle G(j\omega)$ .
I diagrammi di Bode (modulo in dB e fase, scala log) rendono i prodotti somme: ogni fattore si traccia e si somma.
Pendenze tipiche: $\pm20$ dB/decade per polo/zero reale, $-40$ per poli complessi; taglio a $\omega=1/\tau$ .
La banda passante ( $-3$ dB) misura la velocità: banda larga = sistema veloce (ma più rumore).
Applicati alla funzione d'anello, i Bode sono la base per Nyquist e i margini di stabilità (cap. 9).

▶️ Prossimo capitolo: Il criterio di Nyquist e i margini di stabilità

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Il criterio di Nyquist e i margini di stabilità

In breve

Il criterio di Routh (cap. 6) dice se un sistema è stabile a partire dai coefficienti dell'equazione caratteristica. Il criterio di Nyquist risponde alla stessa domanda ma da un punto di vista completamente diverso e straordinariamente utile: giudica la stabilità dell'anello chiuso guardando la risposta in frequenza dell'anello aperto $L(j\omega)$ . Questo è prezioso perché $L(j\omega)$ è spesso misurabile sperimentalmente, anche quando non si conosce il modello esatto del sistema. Il criterio si basa sul rapporto tra la curva di $L(j\omega)$ e il punto critico $-1$ nel piano complesso. Da esso nascono due misure quantitative fondamentali per il progetto: il margine di guadagno e il margine di fase, che dicono non solo se il sistema è stabile, ma quanto lo è — quanto margine c'è prima di cadere nell'instabilità. Sono i numeri con cui si specifica la robustezza di un controllore.

🎯 Alla fine di questo capitolo saprai:

enunciare l'idea del criterio di Nyquist e il ruolo del punto $-1$ ;

definire margine di guadagno e margine di fase;

leggerli sui diagrammi di Bode dell'anello;

collegare i margini alla robustezza e allo smorzamento;

capire perché si progetta "con margine".

L'idea del criterio di Nyquist

Perché conta: permette di giudicare la stabilità dell'anello chiuso senza calcolare i suoi poli, partendo da dati (la risposta in frequenza dell'anello aperto) che si possono anche misurare direttamente sull'impianto.

Ricordiamo (cap. 7) che i poli dell'anello chiuso sono le radici di $1 + L(s) = 0$ , cioè i punti dove $L(s) = -1$ . Il punto critico $-1$ (modulo $1$ , fase $-180°$ ) è quindi la frontiera tra stabilità e instabilità.

📌 Definizione formale. Il diagramma di Nyquist è la curva descritta da $L(j\omega)$ nel piano complesso al variare di $\omega$ da $-\infty$ a $+\infty$ . Il criterio di Nyquist lega il numero di poli instabili dell'anello chiuso al numero di volte che questa curva circonda il punto $-1$ e al numero di poli instabili dell'anello aperto.

Nella versione più usata (anello aperto stabile): l'anello chiuso è stabile se e solo se il diagramma di Nyquist di $L(j\omega)$ non circonda il punto $-1$ .

🔗 Analogia. Immagina di camminare lungo il bordo di $L(j\omega)$ tenendo d'occhio un faro posto in $-1$ . Se completi il giro senza mai "avvolgere" il faro, l'anello chiuso è stabile; se gli giri intorno, hai racchiuso un polo instabile. Il faro in $-1$ è il punto di non ritorno: è la frequenza a cui la retroazione, invece di correggere, rinforza — trasformando il feedback negativo in positivo.

⚠️ Attenzione. Perché $-1$ ? Se a qualche frequenza $L(j\omega) = -1$ , allora il segnale che torna dall'anello è uguale e opposto in fase: sommato al riferimento con retroazione negativa, si auto-sostiene indefinitamente. Il sistema oscilla da solo, senza ingresso: è il limite di stabilità. Avvicinarsi a $-1$ significa avvicinarsi a questa condizione pericolosa.

Margine di guadagno e margine di fase

Perché conta: sapere che un sistema è "stabile" è poco: interessa quanto è lontano dall'instabilità, perché nel mondo reale i parametri variano, i modelli sono approssimati e i ritardi si accumulano. I margini quantificano proprio questa distanza di sicurezza.

I margini misurano quanto la curva $L(j\omega)$ è lontana dal punto critico $-1$ , lungo le due direzioni (modulo e fase).

📌 Definizione formale.

Margine di fase $\varphi_m$ : alla pulsazione $\omega_c$ dove il modulo dell'anello vale $1$ (0 dB) — detta pulsazione di attraversamento/crossover — è la fase aggiuntiva che manca per arrivare a $-180°$ : $\varphi_m = 180° + \angle L(j\omega_c)$
Margine di guadagno $G_m$ : alla pulsazione $\omega_\pi$ dove la fase vale $-180°$ , è il fattore di quanto si potrebbe aumentare il guadagno prima di rendere $|L|=1$ : $G_m = \frac{1}{|L(j\omega_\pi)|} \quad(\text{spesso espresso in dB come } -20\log_{10}|L(j\omega_\pi)|)$

Un sistema è tanto più robusto quanto più entrambi i margini sono positivi e ampi.

Come si leggono sui Bode dell'anello (cap. 8):

si trova $\omega_c$ dove il modulo attraversa $0$ dB → si legge quanta fase manca a $-180°$ : quello è $\varphi_m$ ;
si trova $\omega_\pi$ dove la fase attraversa $-180°$ → si legge di quanti dB il modulo sta sotto lo $0$ : quello è $G_m$ .

🧩 Esempio. Valori di progetto tipici: margine di fase $\varphi_m \approx 45°$ – $60°$ e margine di guadagno $G_m \gtrsim 6$ dB (fattore $\approx 2$ ). Con $\varphi_m = 50°$ il sistema tollera un ritardo o una variazione di fase notevole prima di oscillare; con $G_m = 6$ dB il guadagno può raddoppiare per errori di modello senza perdere stabilità.

⚠️ Attenzione. Margini troppo piccoli (es. $\varphi_m < 30°$ ) danno un anello chiuso "nervoso": molto oscillante, con grande sovraelongazione e a rischio di instabilità alla minima variazione. Margini troppo grandi rendono il sistema stabilissimo ma lento. Il progetto cerca il giusto equilibrio.

Margini, smorzamento e ritardi

Perché conta: i margini in frequenza si traducono direttamente in prestazioni nel tempo — è ciò che rende l'analisi in frequenza uno strumento di progetto e non solo di verifica.

Margine di fase ↔ smorzamento. Esiste una relazione approssimata molto usata: per sistemi del secondo ordine il margine di fase (in gradi) è circa $100$ volte lo smorzamento, $\varphi_m \approx 100\,\zeta$ . Quindi $\varphi_m \approx 50°$ – $70°$ corrisponde a $\zeta \approx 0{,}5$ – $0{,}7$ : buon compromesso tra velocità e sovraelongazione (cap. 5). Il margine di fase è, in pratica, una misura in frequenza dello smorzamento dell'anello chiuso.

Il pericolo dei ritardi. Un ritardo puro $e^{-sT}$ (tempo morto) non cambia il modulo ma sottrae fase che cresce con la frequenza ( $-\omega T$ ). Erode quindi il margine di fase e può rendere instabile un sistema che senza ritardo era stabilissimo. Sensori lenti, elaborazioni digitali e trasmissioni introducono ritardi: per questo vanno tenuti d'occhio nel progetto.

🔗 Analogia. Guidare guardando lo specchietto con un secondo di ritardo: correggi in base a informazioni "vecchie", quindi tendi a sovracorreggere e a sbandare. Il ritardo mangia il margine di fase esattamente come toglie prontezza al guidatore.

🗺️ Come si collega il tutto

Nyquist è il terzo grande criterio di stabilità del corso, dopo Routh (cap. 6) e insieme al luogo delle radici (cap. 10): stessa domanda, tre linguaggi diversi. Lavora sulla funzione d'anello $L=GH$ (cap. 7) letta in frequenza (cap. 8): i margini si misurano proprio sui diagrammi di Bode di $L$ . I margini collegano la frequenza al tempo: il margine di fase determina lo smorzamento $\zeta$ e quindi la sovraelongazione (cap. 5). Nel progetto del controllore (cap. 11), specificare "margine di fase $\ge 50°$ " è un obiettivo concreto che si raggiunge con reti correttrici (anticipatrici/ritardatrici) che modellano la fase dell'anello. Nyquist è così il cuore del progetto in frequenza.

🔑 Concetti chiave

Termine	In una frase	Da non confondere con
Criterio di Nyquist	Stabilità dell'anello chiuso dai giri di $L(j\omega)$ attorno a $-1$	Routh (algebrico, sui coefficienti)
Punto critico $-1$	Frequenza dove il feedback si auto-sostiene: limite di stabilità	Origine (nessun significato di stabilità)
Margine di fase $\varphi_m$	Fase residua a $\omega_c$ (modulo 0 dB) prima di $-180°$	Margine di guadagno (a fase $-180°$ )
Margine di guadagno $G_m$	Guadagno extra tollerabile a fase $-180°$	Margine di fase (misura la fase)
Pulsazione di crossover $\omega_c$	Dove $	L(j\omega)

📝 Riepilogo

Il criterio di Nyquist giudica la stabilità dell'anello chiuso dalla curva $L(j\omega)$ rispetto al punto critico $-1$ .
Anello aperto stabile: anello chiuso stabile ⟺ $L(j\omega)$ non circonda $-1$ .
Il punto $-1$ è il limite di stabilità: lì la retroazione negativa si comporta come positiva e il sistema si auto-oscilla.
Margine di fase $\varphi_m = 180° + \angle L(j\omega_c)$ ; margine di guadagno $G_m = 1/|L(j\omega_\pi)|$ ; si leggono sui Bode dell'anello.
Valori tipici di progetto: $\varphi_m \approx 45°$ – $60°$ , $G_m \gtrsim 6$ dB; margine di fase $\approx 100\,\zeta$ .
I ritardi ( $e^{-sT}$ ) erodono il margine di fase e possono destabilizzare: vanno controllati.

▶️ Prossimo capitolo: Il luogo delle radici

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Il luogo delle radici

In breve

Quando si chiude un anello di controllo, la posizione dei poli dell'anello chiuso — e quindi la stabilità e il comportamento del sistema — dipende dal guadagno del controllore. Il luogo delle radici (root locus) è una tecnica grafica che mostra come si spostano i poli dell'anello chiuso nel piano complesso man mano che si varia un parametro, tipicamente il guadagno $K$ da $0$ a $\infty$ . È uno strumento potentissimo per il progetto: permette di vedere a colpo d'occhio per quali valori di $K$ il sistema resta stabile, quando i poli diventano complessi (e il sistema inizia a oscillare), e come scegliere $K$ per ottenere lo smorzamento e la velocità desiderati. Unisce il rigore algebrico (le radici dell'equazione caratteristica) all'intuizione geometrica, ed è il metodo di sintesi "nel dominio di $s$ " per eccellenza.

🎯 Alla fine di questo capitolo saprai:

definire il luogo delle radici e cosa rappresenta;

capire da dove parte e dove arriva ( $K=0$ ai poli, $K\to\infty$ agli zeri);

applicare le regole di tracciamento principali;

leggere stabilità e smorzamento dal luogo;

usarlo per scegliere il guadagno di progetto.

Cos'è il luogo delle radici

Perché conta: è la mappa che collega la "manopola" del guadagno alle prestazioni. Ruotandola, i poli dell'anello chiuso si muovono lungo traiettorie prevedibili: il luogo le disegna tutte in un colpo solo.

Partiamo dall'equazione caratteristica dell'anello chiuso (cap. 7) con guadagno $K$ regolabile:

$1 + K\,G(s)H(s) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad K\,G(s)H(s) = -1$

📌 Definizione formale. Il luogo delle radici è l'insieme di tutti i punti del piano complesso $s$ che sono radici dell'equazione caratteristica $1 + K G(s)H(s) = 0$ per qualche valore di $K \ge 0$ . È il "percorso" descritto dai poli dell'anello chiuso al variare di $K$ da $0$ a $+\infty$ .

Un punto $s$ appartiene al luogo se soddisfa la condizione di fase: $\angle G(s)H(s) = \pm 180°$ (multipli dispari). Il valore di $K$ corrispondente si trova poi dalla condizione di modulo: $K = 1/|G(s)H(s)|$ .

🔗 Analogia. Immagina i poli dell'anello aperto come calamite fisse sul piano e gli zeri come "buche". Aumentando $K$ , i poli dell'anello chiuso partono dalle calamite (poli dell'anello aperto) e vengono attratti verso le buche (zeri) o fuggono all'infinito lungo direzioni ben precise. Il luogo disegna i sentieri che percorrono.

Punti di partenza, arrivo e regole di tracciamento

Perché conta: poche regole permettono di schizzare il luogo a mano e capire la struttura qualitativa del sistema senza calcolatore — ed è così che si sviluppa l'intuizione di progetto.

📌 Fatti fondamentali.

Partenza ( $K=0$ ): i rami del luogo partono dai poli dell'anello aperto (quando $K=0$ , l'anello chiuso coincide con l'anello aperto).
Arrivo ( $K\to\infty$ ): i rami terminano negli zeri dell'anello aperto; i rami in eccesso (se i poli sono più degli zeri) tendono all'infinito lungo asintoti.
Numero di rami = numero di poli dell'anello aperto (= grado dell'equazione caratteristica).
Simmetria: il luogo è simmetrico rispetto all'asse reale (i poli complessi vengono sempre in coppie coniugate).

Regole di tracciamento principali:

Regola	Contenuto
Asse reale	Un punto dell'asse reale appartiene al luogo se ha un numero dispari di poli+zeri reali alla sua destra
Asintoti	I rami all'infinito seguono $n-m$ asintoti con angoli $\dfrac{(2k+1)180°}{n-m}$
Centroide	Gli asintoti partono da un punto sull'asse reale: $\sigma = \dfrac{\sum p_i - \sum z_i}{n-m}$
Punti di diramazione	Dove due rami si incontrano/separano sull'asse reale (poli che diventano complessi)
Attraversamento asse $j\omega$	Dove il luogo taglia l'asse immaginario: si trova con Routh e dà il $K$ critico

🧩 Esempio. Sistema $G(s)H(s) = \dfrac{K}{s(s+2)}$ . Due poli (in $0$ e $-2$ ), nessuno zero. I due rami partono da $0$ e $-2$ , si muovono lungo l'asse reale l'uno verso l'altro, si incontrano nel punto medio $s=-1$ (punto di diramazione) e da lì si staccano verso l'alto e il basso diventando complessi coniugati. All'aumentare di $K$ si allontanano dall'asse reale mantenendo parte reale $-1$ : il sistema resta sempre stabile ma oscilla sempre di più (smorzamento che cala). Il valore di $K$ al punto di diramazione segna il passaggio da risposta non oscillante a oscillante.

Leggere stabilità e prestazioni dal luogo

Perché conta: il luogo non serve solo a tracciare: è uno strumento di scelta. Sovrapponendo le specifiche al grafico si legge direttamente il guadagno che le realizza.

Stabilità. Finché i rami restano nel semipiano sinistro, l'anello chiuso è stabile. Il valore di $K$ per cui un ramo attraversa l'asse immaginario è il guadagno critico $K_{\text{crit}}$ : oltre quel valore il sistema diventa instabile (coincide col $K_{\max}$ trovato con Routh, cap. 6).

Smorzamento e velocità. Sul piano complesso:

le rette che passano per l'origine con un dato angolo corrispondono a smorzamento $\zeta$ costante (più vicine all'asse immaginario = meno smorzate);
le circonferenze centrate nell'origine corrispondono a $\omega_n$ costante;
allontanarsi dall'asse immaginario (parte reale più negativa) = transitorio più rapido.

Per progettare, si tracciano sul luogo le linee dello smorzamento desiderato (es. $\zeta = 0{,}7$ ) e si sceglie il punto di intersezione col luogo: la condizione di modulo dà il $K$ che porta i poli proprio lì.

⚠️ Attenzione. Aggiungere un polo al controllore tende a "spingere" il luogo verso destra (destabilizza, rallenta); aggiungere uno zero lo tira verso sinistra (stabilizza, velocizza). È il principio delle reti correttrici (cap. 11): si inseriscono poli e zeri per rimodellare il luogo e portarlo dove serve.

🔗 Analogia. Progettare col luogo è come regolare le vele di una barca: gli zeri sono spinte verso la stabilità (sinistra), i poli verso l'instabilità (destra). Spostandoli decidi la rotta che i poli dell'anello chiuso percorreranno al variare del guadagno.

🗺️ Come si collega il tutto

Il luogo delle radici è il metodo di analisi e sintesi nel dominio di $s$ , complementare a Bode/Nyquist (dominio della frequenza, cap. 8–9). Parte dall'equazione caratteristica dell'anello chiuso $1+KGH=0$ (cap. 7) e mostra graficamente come i poli (cap. 4) si spostano col guadagno, determinando stabilità (cap. 6: il $K$ critico coincide con quello di Routh) e risposta nel tempo (cap. 5: la posizione dei poli fissa $\zeta$ e $\omega_n$ , quindi sovraelongazione e velocità). È lo strumento naturale per il progetto del controllore (cap. 11): scegliere il guadagno e piazzare poli/zeri delle reti correttrici per portare i poli dell'anello chiuso nella regione desiderata del piano complesso. Analizza la stessa realtà di Nyquist, ma "vedendo" direttamente dove finiscono i poli.

🔑 Concetti chiave

Termine	In una frase	Da non confondere con
Luogo delle radici	Traiettorie dei poli dell'anello chiuso al variare di $K$	Diagramma di Bode/Nyquist (dominio frequenza)
Condizione di fase	$\angle GH = \pm180°$ : definisce i punti del luogo	Condizione di modulo (dà il valore di $K$ )
Punto di diramazione	Dove i rami si separano dall'asse reale (poli → complessi)	Attraversamento asse $j\omega$ (limite stabilità)
Guadagno critico	Valore di $K$ che porta un polo sull'asse $j\omega$	Guadagno statico (rapporto a regime)
Asintoti	Direzioni all'infinito dei rami in eccesso	Rami che terminano negli zeri (al finito)

📝 Riepilogo

Il luogo delle radici disegna come i poli dell'anello chiuso ( $1+KGH=0$ ) si spostano al variare di $K$ da $0$ a $\infty$ .
I rami partono dai poli dell'anello aperto ( $K=0$ ) e arrivano agli zeri o all'infinito lungo asintoti ( $K\to\infty$ ).
Regole rapide: appartenenza dell'asse reale (poli+zeri dispari a destra), asintoti, centroide, punti di diramazione.
La stabilità si legge finché i rami restano a sinistra; il $K$ che attraversa l'asse $j\omega$ è il guadagno critico (= Routh).
Sovrapponendo le linee di $\zeta$ e $\omega_n$ costanti si sceglie il $K$ che dà le prestazioni volute.
Poli spingono il luogo a destra (destabilizzano), zeri a sinistra (stabilizzano): base delle reti correttrici.

▶️ Prossimo capitolo: Il progetto del controllore (PID e reti correttrici)

Fondamenti di Automatica

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Il progetto del controllore (PID e reti correttrici)

In breve

Fin qui abbiamo imparato ad analizzare i sistemi: modellarli, valutarne stabilità e risposta. Ora arriva il cuore applicativo dell'automatica: progettare il controllore, cioè scegliere il blocco da mettere nel ramo diretto per far comportare il sistema come vogliamo. Il controllore più diffuso al mondo è il PID (Proporzionale-Integrale-Derivativo): tre azioni semplici che, combinate, coprono la stragrande maggioranza delle esigenze industriali. L'azione proporzionale reagisce all'errore presente, l'integrale azzera l'errore accumulato nel tempo, la derivativa anticipa l'errore futuro. Quando il PID non basta, si ricorre alle reti correttrici (anticipatrici e ritardatrici), che modellano più finemente la risposta in frequenza dell'anello per centrare margini e banda desiderati. Progettare significa tradurre le specifiche (velocità, precisione, robustezza) nella scelta dei parametri del controllore.

🎯 Alla fine di questo capitolo saprai:

descrivere le tre azioni P, I, D e i loro effetti;

scrivere la funzione di trasferimento del PID;

capire il compromesso tra prestazioni e stabilità;

distinguere reti anticipatrici e ritardatrici;

impostare il progetto a partire dalle specifiche.

Le tre azioni del PID

Perché conta: il PID governa temperature, motori, livelli, pressioni in ogni impianto del pianeta. Capirne le tre azioni significa saper regolare la maggior parte dei sistemi reali.

Il controllore riceve l'errore $e(t) = r(t) - y(t)$ (differenza tra riferimento e uscita misurata) e produce il comando $u(t)$ . Il PID lo calcola combinando tre contributi:

$u(t) = K_p\,e(t) + K_i \int_0^t e(\tau)\,d\tau + K_d\,\frac{de(t)}{dt}$

In termini di funzione di trasferimento (dominio di $s$ ):

$\boxed{C(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d\,s}$

📌 Definizione formale — le tre azioni.

Proporzionale (P). Comando proporzionale all'errore attuale: $u = K_p e$ . Reagisce subito, ma da sola lascia un errore residuo a regime (non riesce ad annullare completamente lo scarto). Aumentare $K_p$ riduce l'errore e velocizza, ma troppo destabilizza (oscillazioni).

Integrale (I). Comando proporzionale all'accumulo dell'errore nel tempo: continua a spingere finché l'errore non è esattamente zero. È l'azione che azzera l'errore a regime (introduce un integratore, cap. 5). Prezzo: rallenta la risposta e può creare oscillazioni e "carica" eccessiva (windup).

Derivativa (D). Comando proporzionale alla velocità di variazione dell'errore: anticipa dove sta andando l'errore e frena in anticipo. Aggiunge smorzamento, riduce la sovraelongazione e stabilizza. Prezzo: amplifica il rumore ad alta frequenza (deriva segnali rumorosi).

🔗 Analogia (guidare verso un semaforo). P = premi il freno in proporzione a quanto sei lontano dalla linea. I = se ti fermi sempre un po' prima, correggi accumulando quel piccolo scarto finché sei esattamente sulla linea. D = se ti stai avvicinando troppo in fretta, freni in anticipo per non superarla. Insieme: arrivo preciso, senza superare, senza sobbalzi.

Azione	Riduce errore a regime	Velocità	Stabilità	Rumore
P ↑	migliora (non azzera)	↑	peggiora	—
I ↑	azzera	↓ (più lento)	peggiora	—
D ↑	—	—	migliora	amplifica

⚠️ Attenzione. Nessuna azione è gratis: ogni parametro migliora qualcosa e peggiora qualcos'altro. La taratura (tuning) è la ricerca del compromesso. Regole pratiche note (es. Ziegler-Nichols) partono dal guadagno critico $K_{\text{crit}}$ e dal periodo di oscillazione al limite di stabilità (cap. 6) per suggerire valori di partenza di $K_p, K_i, K_d$ .

Progettare a partire dalle specifiche

Perché conta: il progetto non è tentare a caso: è tradurre requisiti ("assestati in 2 s, errore nullo, sovraelongazione < 10%") in scelte precise sul controllore, usando gli strumenti dei capitoli precedenti.

Il flusso tipico di progetto:

Specifiche → si esprimono come vincoli su: errore a regime (→ serve l'azione I o un certo tipo di sistema), velocità (→ banda/tempo di assestamento, cioè $\omega_n$ ), sovraelongazione (→ smorzamento $\zeta$ , cioè margine di fase).
Scelta della struttura → P, PI, PD, PID o rete correttrice a seconda di cosa manca.
Taratura dei parametri → con luogo delle radici (cap. 10) per piazzare i poli, o con Bode (cap. 8–9) per ottenere i margini.
Verifica → risposta al gradino, margini, robustezza; iterazione se serve.

🧩 Esempio. Un forno deve raggiungere la temperatura impostata senza errore a regime (→ serve l'azione I) ma senza oscillare troppo (→ serve l'azione D per smorzare). Un PID è la scelta naturale: I garantisce la precisione, D la dolcezza, P la prontezza. Un motore di posizionamento veloce che parte già con un integratore naturale può bastare un PD. Un controllo di livello lento e rumoroso spesso usa solo PI (niente D per non amplificare il rumore).

📌 Regola pratica di scelta:

Serve...	Struttura tipica
Precisione a regime (errore nullo)	includere I (PI, PID)
Smorzamento/stabilità, meno sovraelongazione	includere D (PD, PID)
Segnale rumoroso	evitare/filtrare la D (usare PI)
Solo velocizzare, errore residuo tollerato	P puro

Le reti correttrici

Perché conta: quando le specifiche in frequenza sono stringenti (margini precisi, banda mirata), le reti correttrici offrono un controllo più fine della fase e del guadagno dell'anello di quanto faccia un PID standard.

Le reti correttrici (compensatori) sono blocchi con un polo e uno zero che rimodellano la risposta in frequenza dell'anello (cap. 8–9) o il luogo delle radici (cap. 10).

📌 Definizione formale.

Rete anticipatrice (lead): lo zero precede il polo. Aggiunge fase positiva attorno alla frequenza di crossover → aumenta il margine di fase, migliora smorzamento e velocità. Concettualmente affine all'azione derivativa.
Rete ritardatrice (lag): il polo precede lo zero. Aumenta il guadagno alle basse frequenze → riduce l'errore a regime, senza toccare troppo la banda. Concettualmente affine all'azione integrale.
Combinate (lead-lag): migliorano precisione (lag) e stabilità/velocità (lead) insieme, come un PID.

🔗 Analogia. La rete anticipatrice è come guardare avanti in curva: aggiungendo "anticipo di fase" dai al sistema il tempo di reagire prima, e non sbanda. La ritardatrice è come stringere lentamente una vite di precisione: alza il guadagno dove serve (basse frequenze) per azzerare l'errore, senza scomporre il resto.

⚠️ Attenzione. Ogni correzione ha effetti collaterali: la rete anticipatrice, alzando la banda, lascia passare più rumore; la ritardatrice, se mal posizionata, rallenta il transitorio. Il progetto in frequenza consiste nel dosare zero e polo di ciascuna rete per centrare i margini (cap. 9) senza degradare le altre prestazioni.

🗺️ Come si collega il tutto

Il progetto del controllore è il punto d'arrivo che usa tutto il corso. Le specifiche si esprimono nei termini della risposta nel tempo (cap. 5: sovraelongazione, assestamento) e in frequenza (cap. 8–9: banda, margini). Il controllore entra nel ramo diretto dello schema a blocchi (cap. 7), modificando la funzione d'anello $L=CGH$ e quindi l'equazione caratteristica. La stabilità del risultato si verifica con Routh (cap. 6), Nyquist (cap. 9) o il luogo delle radici (cap. 10), che è anche lo strumento per piazzare i poli dell'anello chiuso. L'azione integrale realizza in pratica l'annullamento dell'errore a regime (cap. 5). Il capitolo finale (cap. 12) mostrerà l'approccio moderno — lo spazio di stato — che generalizza queste idee ai sistemi a più ingressi/uscite.

🔑 Concetti chiave

Termine	In una frase	Da non confondere con
PID	Controllore $C(s)=K_p+K_i/s+K_d s$ : le tre azioni combinate	Rete correttrice (un polo + uno zero)
Azione integrale (I)	Azzera l'errore a regime accumulando l'errore	Proporzionale (lascia errore residuo)
Azione derivativa (D)	Anticipa e smorza; amplifica il rumore	Integrale (rallenta, non anticipa)
Rete anticipatrice (lead)	Aggiunge fase: più margine, più veloce (≈ D)	Ritardatrice (lag: precisione, ≈ I)
Tuning	Scelta dei parametri come compromesso tra prestazioni	Modellazione (ricavare $G(s)$ del processo)

📝 Riepilogo

Il controllore agisce sull'errore $e=r-y$ ; il PID combina tre azioni: $C(s)=K_p+K_i/s+K_d s$ .
P: reagisce all'errore presente (errore residuo); I: azzera l'errore a regime (rallenta); D: anticipa e smorza (amplifica il rumore).
Nessuna azione è gratis: la taratura è la ricerca del compromesso (es. regole di Ziegler-Nichols dal guadagno critico).
Il progetto traduce le specifiche (errore, velocità, sovraelongazione) in struttura e parametri, verificando con luogo delle radici e Bode/margini.
Le reti correttrici: anticipatrice (lead, ≈ D) aumenta il margine di fase; ritardatrice (lag, ≈ I) riduce l'errore a regime; combinate = lead-lag.

▶️ Prossimo capitolo: La rappresentazione in spazio di stato e temi avanzati

Fondamenti di Automatica

Hai letto. Ora impara.

L'AI trasforma questo modulo in strumenti di studio personalizzati.

La rappresentazione in spazio di stato e temi avanzati

In breve

La funzione di trasferimento descrive un sistema attraverso il rapporto ingresso-uscita, ma "nasconde" ciò che accade al suo interno e funziona bene solo per sistemi a un ingresso e una uscita. La rappresentazione in spazio di stato è l'approccio moderno che descrive il sistema tramite le sue variabili di stato — le grandezze interne che ne riassumono la "memoria" — con un sistema di equazioni differenziali del primo ordine in forma matriciale. Questa formulazione tratta con naturalezza i sistemi a più ingressi e più uscite (MIMO), si presta al calcolo numerico e apre la porta a concetti potenti come controllabilità, osservabilità e alle tecniche di controllo avanzate (retroazione dallo stato, osservatori, controllo ottimo). È il ponte tra i fondamenti classici del corso e la teoria moderna dei sistemi, oltre a costituire la base del controllo digitale che governa i sistemi reali via calcolatore.

🎯 Alla fine di questo capitolo saprai:

definire lo stato e le equazioni di stato in forma matriciale;

collegare spazio di stato e funzione di trasferimento;

capire controllabilità e osservabilità;

avere un quadro delle tecniche avanzate (retroazione dallo stato, osservatori);

inquadrare il controllo digitale e i sistemi non lineari.

Lo stato e le equazioni di stato

Perché conta: è il linguaggio con cui la teoria dei sistemi, la robotica, l'aerospaziale e il controllo moderno descrivono qualunque sistema, semplice o complesso, con uno o mille ingressi.

📌 Definizione formale. Lo stato di un sistema è il minimo insieme di variabili $x_1, x_2, \dots, x_n$ (le variabili di stato) che, note all'istante iniziale insieme all'ingresso futuro, permettono di determinare completamente l'evoluzione futura del sistema. Il loro numero $n$ è l'ordine del sistema.

Il sistema si descrive con due equazioni matriciali:

$\boxed{\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + B\mathbf{u} \qquad \mathbf{y} = C\mathbf{x} + D\mathbf{u}}$

$\mathbf{x}$ (vettore $n\times1$ ): stato; $\mathbf{u}$ : ingressi; $\mathbf{y}$ : uscite;
$A$ (matrice di stato, $n\times n$ ): come lo stato evolve da sé; governa la dinamica;
$B$ (matrice di ingresso): come gli ingressi agiscono sullo stato;
$C$ (matrice di uscita): come lo stato genera le uscite;
$D$ (legame diretto ingresso-uscita, spesso nullo).

🔗 Analogia. Lo stato è la "fotografia completa" del sistema in un istante: per un'auto in movimento, posizione e velocità bastano a prevedere il futuro (data la spinta del motore). Non serve sapere come ci è arrivata: lo stato riassume tutto il passato in ciò che conta per il futuro.

🧩 Esempio. Il secondo ordine (cap. 4) $\ddot y + 2\zeta\omega_n\dot y + \omega_n^2 y = \omega_n^2 u$ si riscrive scegliendo come stato $x_1 = y$ (posizione) e $x_2 = \dot y$ (velocità): si ottengono due equazioni del primo ordine, $\dot x_1 = x_2$ e $\dot x_2 = -\omega_n^2 x_1 - 2\zeta\omega_n x_2 + \omega_n^2 u$ . Un'equazione di ordine $n$ diventa sempre $n$ equazioni del primo ordine.

📌 Legame con i poli. Gli autovalori della matrice $A$ coincidono con i poli della funzione di trasferimento. La stabilità (cap. 6) si legge quindi dagli autovalori di $A$ : tutti a parte reale negativa ⟺ sistema stabile. Spazio di stato e funzione di trasferimento descrivono lo stesso sistema in due linguaggi.

Controllabilità e osservabilità

Perché conta: sono due domande fondamentali che la funzione di trasferimento non sa porre chiaramente: posso davvero governare tutto ciò che accade dentro il sistema? posso conoscerlo dalle misure? Da qui nasce tutto il controllo moderno.

📌 Definizione formale.

Controllabilità: un sistema è controllabile se, agendo sugli ingressi, si può portare lo stato da qualunque valore iniziale a qualunque valore desiderato in tempo finito. In altre parole, gli attuatori "raggiungono" ogni parte della dinamica interna.
Osservabilità: un sistema è osservabile se, dalle misure dell'uscita (e degli ingressi), si può ricostruire lo stato interno completo. In altre parole, i sensori "vedono" tutto ciò che conta.

Si verificano con test algebrici sulle matrici (le matrici di controllabilità e osservabilità devono avere rango pieno).

⚠️ Attenzione. Un sistema può essere stabile ma non controllabile (una parte della dinamica non è raggiungibile dagli attuatori) o non osservabile (una parte non emerge dai sensori). Questi "modi nascosti" possono scomparire nella funzione di trasferimento a causa di cancellazioni polo-zero, pur restando presenti nel sistema fisico — motivo per cui lo spazio di stato è più informativo.

🔗 Analogia. Controllabilità: hai le leve per pilotare ogni parte dell'aereo? Osservabilità: hai gli strumenti per sapere in che assetto sei? Senza entrambe non puoi volare in sicurezza, per quanto stabile sia l'aereo.

Tecniche avanzate e controllo digitale

Perché conta: è il ponte verso i corsi successivi e verso la pratica reale, dove quasi tutti i controllori sono digitali e molti problemi richiedono più dei metodi classici.

Retroazione dallo stato (state feedback). Invece di retroazionare solo l'uscita, si retroaziona l'intero stato: $\mathbf{u} = -K\mathbf{x} + \mathbf{r}$ . Scegliendo la matrice dei guadagni $K$ si possono piazzare gli autovalori (i poli) dell'anello chiuso dove si vuole (pole placement), se il sistema è controllabile. È il metodo moderno per assegnare direttamente la dinamica desiderata.

Osservatori (stimatori di stato). Se lo stato non è tutto misurabile, un osservatore (es. di Luenberger, o il filtro di Kalman in presenza di rumore) lo stima a partire da ingressi e uscite. Combinato con la retroazione dallo stato dà il regolatore completo, purché il sistema sia osservabile.

Controllo ottimo (LQR). Si sceglie $K$ minimizzando un indice di costo che pesa errore e sforzo di controllo: il controllo LQR (Linear Quadratic Regulator) è il capostipite delle tecniche ottime.

Controllo digitale. I controllori reali oggi sono calcolatori: campionano l'uscita a intervalli regolari, calcolano il comando e lo applicano. Questo introduce il tempo discreto — la trasformata $z$ (l'analogo di Laplace per i segnali campionati), le equazioni alle differenze, e vincoli sul periodo di campionamento (troppo lento destabilizza; il teorema di Shannon fissa il limite minimo). Il PID stesso viene implementato in forma discreta.

Sistemi non lineari. Tutto il corso assume linearità. I sistemi reali non lo sono: si affrontano linearizzando attorno a un punto di lavoro (e applicando i metodi visti) oppure con tecniche non lineari dedicate (Lyapunov, gain scheduling, controllo in retroazione linearizzante), argomento dei corsi avanzati.

🧩 Esempio. Un drone è un sistema MIMO non lineare: più motori (ingressi), più assetti (uscite), dinamica accoppiata. Lo si controlla linearizzando attorno al volo stazionario, stimando lo stato (posizione/assetto) con un filtro di Kalman che fonde i sensori, e retroazionando lo stato con guadagni calcolati per stabilità e prontezza — il tutto eseguito da un microcontrollore in tempo discreto. Tutti i concetti del corso, all'opera insieme.

🗺️ Come si collega il tutto

Questo capitolo chiude il cerchio e riparte. Lo spazio di stato generalizza la funzione di trasferimento (cap. 4): gli autovalori di $A$ sono i poli, quindi la stabilità (cap. 6) diventa una proprietà spettrale di $A$ . La retroazione dallo stato estende l'idea di retroazione (cap. 7) e il pole placement realizza in modo diretto ciò che il luogo delle radici (cap. 10) e il progetto del controllore (cap. 11) fanno spostando i poli. Gli osservatori rispondono al problema — qui reso esplicito — di conoscere lo stato quando i sensori non bastano. Il controllo digitale riporta tutto nella pratica: i metodi in frequenza (Bode, Nyquist, cap. 8–9) e nel tempo (cap. 5) trovano il loro analogo discreto. Da qui partono i corsi di controlli automatici avanzati, teoria dei sistemi, robotica e automazione.

🔑 Concetti chiave

Termine	In una frase	Da non confondere con
Variabili di stato	Grandezze interne che riassumono la memoria del sistema	Uscite (ciò che si misura)
Matrice di stato $A$	Governa l'evoluzione libera; i suoi autovalori sono i poli	Matrice di ingresso $B$ (effetto dei comandi)
Controllabilità	Gli attuatori possono governare tutto lo stato	Osservabilità (i sensori vedono tutto lo stato)
Retroazione dallo stato	$u=-Kx$ : piazza gli autovalori dove si vuole	Retroazione dall'uscita (classica, cap. 7)
Controllo digitale	Controllore a calcolatore, tempo discreto, trasformata $z$	Controllo analogico (tempo continuo, Laplace)

📝 Riepilogo

Lo spazio di stato descrive il sistema con $\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}+B\mathbf{u}$ , $\mathbf{y}=C\mathbf{x}+D\mathbf{u}$ : naturale per sistemi MIMO e calcolo numerico.
Le variabili di stato riassumono la memoria; gli autovalori di $A$ sono i poli → stabilità dagli autovalori.
Controllabilità (governare lo stato dagli ingressi) e osservabilità (ricostruirlo dalle uscite) sono le proprietà chiave del controllo moderno.
Retroazione dallo stato ( $u=-Kx$ ) permette il pole placement; gli osservatori stimano lo stato non misurato.
Il controllo digitale (tempo discreto, trasformata $z$ , campionamento) è la forma reale dei controllori; i sistemi non lineari si affrontano linearizzando.
Lo spazio di stato è il ponte verso teoria dei sistemi, controllo ottimo, robotica e automazione.

🎓 Fine del corso.

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Fondamenti di Automatica

Hai finito il corso. Ora studia davvero.

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Cos'è l'automatica: sistemi e controllo

In breve

Sistemi, ingressi e uscite

Controllo: anello aperto e anello chiuso

La potenza (e i rischi) della retroazione

🗺️ Come si collega il tutto

🔑 Concetti chiave

📝 Riepilogo

Hai letto. Ora impara.

I modelli dei sistemi dinamici

In breve

Dal sistema fisico all'equazione differenziale

Primo e secondo ordine: i mattoni

Stato e linearizzazione

🗺️ Come si collega il tutto

🔑 Concetti chiave

📝 Riepilogo

Hai letto. Ora impara.

La trasformata di Laplace

In breve

L'idea: dal dominio del tempo al dominio s

La proprietà chiave e i segnali tipici

L'antitrasformata: tornare nel tempo

🗺️ Come si collega il tutto

🔑 Concetti chiave

📝 Riepilogo

Hai letto. Ora impara.

La funzione di trasferimento

In breve

Dall'equazione differenziale a G(s)G(s)G(s)

Poli, zeri e guadagno

Il guadagno statico

Ordine, tipo e proprietà

La risposta impulsiva

Le forme canoniche

Primo ordine

Secondo ordine

🗺️ Come si collega il tutto

🔑 Concetti chiave

📝 Riepilogo

Hai letto. Ora impara.

La risposta nel tempo

In breve

Ingressi canonici e struttura della risposta

La risposta al gradino

Primo ordine

Secondo ordine sottosmorzato

Il regime permanente e l'errore

🗺️ Come si collega il tutto

🔑 Concetti chiave

📝 Riepilogo

Hai letto. Ora impara.

La stabilità e il criterio di Routh

In breve

Cos'è la stabilità

L'equazione caratteristica e il problema pratico

Il criterio di Routh-Hurwitz

Come si costruisce la tabella

Routh come strumento di progetto

🗺️ Come si collega il tutto

🔑 Concetti chiave

📝 Riepilogo

Hai letto. Ora impara.

Schemi a blocchi e retroazione

In breve

Il linguaggio degli schemi a blocchi

Regole di riduzione

L'anello chiuso: la formula fondamentale

Anello aperto vs anello chiuso

Retroazione negativa e positiva

🗺️ Come si collega il tutto

🔑 Concetti chiave

📝 Riepilogo

Hai letto. Ora impara.

La risposta in frequenza e i diagrammi di Bode

In breve

Dalla trasformata alla risposta in frequenza

I diagrammi di Bode

Comportamento asintotico dei fattori elementari

Banda passante e filtri

Dall'equazione differenziale a $G(s)$