Fondamenti di Psicometria

Sommario

La psicometria è la disciplina che si occupa di misurare gli attributi psicologici. Poiché i fenomeni psicologici appaiono familiari, si tende a sottovalutarli, ma la psicologia è una scienza che fonda le proprie affermazioni su prove empiriche. Il capitolo introduce il percorso che va dall'ipotesi di ricerca alla misurazione: che cosa significa misurare, che cosa sono i costrutti, come si operazionalizzano, su quali scale di misura si collocano le variabili, come è fatto un test psicologico e quali sono le sue due proprietà fondamentali, attendibilità e validità.

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1.1–1.2 Perché la statistica in psicologia e l'indagine empirica

Lo psicologo è uno scienziato: non basta che un'affermazione sembri ovvia, deve essere supportata da prove. Il senso comune spesso inganna (es. la fallacia della congiunzione di Tversky e Kahneman: il problema di "Linda", in cui la congiunzione di due eventi non può essere più probabile del singolo evento). Non serve diventare raffinati psicometristi: serve capire i principi logici delle procedure, per valutare con competenza il manuale di un test o un articolo di ricerca.

La ricerca parte da un'ipotesi di ricerca: la traduzione, in eventi osservabili oggettivamente, di una domanda nata dall'osservazione di una contraddizione fra teoria e realtà. Esistono due "anime" della ricerca:

• Ricerca correlazionale: si osserva se due o più caratteristiche variano insieme così come si presentano in natura (nessuna manipolazione).
• Ricerca sperimentale: si manipolano intenzionalmente le caratteristiche per individuare una relazione di causa-effetto (→ Cap. 9).

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1.3 Le variabili e la loro misura

Un'ipotesi è utile solo se verificabile, e ciò richiede di definire operativamente le caratteristiche, cioè misurare le variabili.

Concetti chiave

• Variabile: qualunque attributo, fisico o psichico, che assume valori o categorie diverse quando sottoposto a osservazione.
• Costante: caratteristica che non varia fra le unità (senza variabilità non c'è analisi statistica).
• Unità di analisi (o casi, soggetti, partecipanti): l'oggetto su cui si rileva la caratteristica. Possono essere persone, animali, città, giorni…
• Variabilità = informazione: più una caratteristica è variabile, più è informativa. "La statistica è un'astronave a propulsione di variabilità": più variabilità forniamo ai motori, più lontano ci porta. (Es.: per identificare uno studente, il numero di matricola — massimamente variabile — è più informativo del sesso.)

1.3.1 Misurare in psicologia

Misurare (Stevens, 1946) = serie di regole per assegnare simboli agli oggetti in modo da rappresentarne numericamente le quantità di attributo (scaling) e/o classificarli (classificazione). Le regole devono essere esplicite e univoche; una misura è standardizzata se le regole sono chiare, apprendibili e l'esito non dipende da chi la esegue.

Non si misurano gli oggetti ma i loro attributi. La misurazione richiede un processo di astrazione: un punteggio è solo una parte della persona.

1.3.2 I costrutti psicologici

Le variabili psicologiche sono costrutti teorici: entità ipotetiche non osservabili direttamente, ma solo attraverso indicatori osservabili (comportamenti, indici psicofisiologici). Il clinico non "vede" la depressione, ne rileva le manifestazioni. Il primo problema è sempre la definizione del costrutto: senza una definizione accurata non si può costruire alcuno strumento psicometrico (es. Machiavellismo; scale SPS e SIAS di Mattick e Clark, 1998, per fobia sociale e ansia da interazione sociale).

1.3.3 Operazionalizzazione e modelli di misurazione

• Operazionalizzare: specificare gli elementi che legano il non osservabile all'empirico, traducendo il costrutto in item.
• Dominio di contenuto: l'universo dei comportamenti che indicano il costrutto. Quasi mai una sola operazionalizzazione basta.
• Modello di misurazione: espressione formalizzata della relazione fra il costrutto (variabile latente) e le sue operazionalizzazioni (variabili manifeste). Convenzione grafica: costrutto = ovale, indicatori = rettangoli.

Due tipi di modello a seconda della direzione delle frecce:

Modello	Direzione	Logica	Il costrutto è…
Riflessivo (Effect Indicator)	costrutto → indicatori	il costrutto causa le risposte	una scala
Formativo (Causal Indicator)	indicatori → costrutto	gli indicatori causano il punteggio	un indice

Esempio riflessivo (Spearman, 1904): il punteggio all'item dipende dall'intelligenza posseduta: x_i = λ_i·g + e_i, dove g è l'intelligenza generale, λ_i il peso e e_i la parte non dovuta al costrutto. Analogamente il voto X = λ·P + E (preparazione + fattori estranei). Esempio formativo: lo stress è causato da eventi (divorzio, lutto, nascita di un figlio…).

1.3.4 Le scale di misura (Stevens, 1946)

Quattro livelli gerarchici; il livello determina le analisi possibili e le trasformazioni ammesse.

Scala	Operazioni fondamentali	Trasformazioni ammesse	Esempi
Nominale	uguale / diverso (classificare)	sostituzione di etichetta	genere, stato civile, diagnosi
Ordinale	maggiore / uguale / minore (ordinare)	monotone strettamente crescenti	titolo di studio, taglie, posizione in classifica
Intervalli equivalenti	addizione / sottrazione (distanze note)	lineari y = a + bx	punteggio a test, scala °C
Rapporti equivalenti	tutte (zero assoluto)	moltiplicative y = bx	età, tempo di reazione, n. risposte corrette, scala K

Punti chiave:

• Nominale: categorie distintive, collettivamente esaustive, mutuamente escludentisi. I numeri sono solo etichette (10 ≠ 3+3+1!). Variabili dicotomiche (2 modi) vs politomiche (≥3).
• Ordinale: c'è un ordine (rango) ma non l'unità di misura: si sa che A > B, non di quanto. Le scale Likert di accordo sono formalmente ordinali (le distanze fra "per niente" e "completamente" non sono identiche fra individui — Miceli, 2004; Kampen e Swyngedouw, 2000, distinguono 5 tipi di scale ordinali).
• Intervalli: distanze note ma zero relativo/arbitrario (es. °C: 0 °C non è assenza di calore; 10 °C non è "il doppio" di 5 °C — trasformando in °F il rapporto si perde). I punteggi ai test psicologici sono di norma a intervalli: hanno senso solo in relazione a una popolazione (QI 130 vs media 100). Per convenzione, le scale Likert si trattano come a intervalli (Thurstone, 1928).
• Rapporti: come gli intervalli ma con zero assoluto (= reale assenza dell'attributo). Il rapporto resta costante anche cambiando unità (es. tempo di reazione, altezza). Considerare lo zero di "n. risposte corrette" come zero assoluto del costrutto sarebbe però un errore (confondere indicatore e costrutto).

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1.4–1.5 I test psicologici: a cosa servono e come sono fatti

Il test fa "emergere" il costrutto latente come la polvere rivela le impronte latenti (un tempo: reattivi mentali); ogni item è uno stimolo che provoca una reazione. Un test standardizzato (con norme, cioè punteggi di riferimento di una popolazione) fornisce una misura oggettiva, verificabile indipendentemente — superando i giudizi soggettivi. Vantaggi: maggiore precisione/dettaglio e maggiore variabilità (= informazione).

Categorie di misure del comportamento

• Latenza: tempo fra stimolo e risposta (base della cronometria mentale; Donders e il metodo sottrattivo).
• Frequenza: numero di occorrenze di un comportamento.
• Durata: tempo per cui un comportamento è mantenuto (osservazione per finestre temporali).
• Intensità: misurabile oggettivamente (es. risposta elettrodermica) o soggettivamente (rating scale, es. Wong-Baker Faces per il dolore).

Le parti di un test

• Materiale stimolo (le domande) e foglio di notazione (le risposte), spesso uniti.
• Intestazione (nome/sigla del test — talvolta celata per non influenzare), istruzioni/consegna, elenco item con scala di risposta.
• Per il professionista: manuale del test (cornice teorica, definizione del costrutto, norme, istruzioni di somministrazione e scoring) e griglia di correzione.

La somministrazione standard è cruciale: norme e dati statistici valgono solo se si riproducono le stesse condizioni. Variare la procedura rende dubbia l'interpretazione.

1.6 Tipi di test

• Test di prestazione massima (cognitivi): chiedono il meglio, esiste una risposta corretta (abilità, profitto, attitudinali, intelligenza, neuropsicologici).
  • Abilità: capacità in ambiti specifici (es. Paper Folding Test, visuo-spaziale).
  • Profitto: grado di acquisizione dopo una formazione (es. esami).
  • Attitudinali: predicono prestazioni future in aree non ancora formate (es. SAT).
• Test di prestazione tipica (non cognitivi): misurano il comportamento abituale (personalità, atteggiamenti, interessi); non c'è risposta giusta.

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1.7 Le proprietà psicometriche di un test

1.7.1 Attendibilità (reliability)

Riguarda la precisione e ripetibilità della misura, al netto dell'errore di misurazione. Modello della teoria classica dei test:

X = V + E

dove X = punteggio osservato, V = punteggio vero (reale quantità di costrutto), E = errore di misurazione (casuale). L'attendibilità r_tt è la proporzione di punteggio vero contenuto nel punteggio osservato:

• varia fra 0 (nulla) e 1 (perfetta);
• più E → 0, più r_tt → 1.

Una misura può essere molto attendibile (ripetibile) ma misurare la cosa sbagliata: l'attendibilità da sola non basta. Serve la validità.

1.7.2 Validità

Indica se il test misura davvero il costrutto che intende misurare (la depressione, e non qualcosa che le assomiglia). Tipi principali:

• Validità di contenuto: il campione di item è rappresentativo dell'universo di operazionalizzazioni possibili del costrutto? Si valuta con un pool di esperti.
• Validità di facciata: quanto il test appare misurare ciò che dichiara (importante per l'accettazione e la comprensione da parte dei rispondenti).
• Validità di criterio: relazione del punteggio con un criterio esterno e indipendente. Tre sottotipi:
  • concorrente — criterio rilevato contemporaneamente (gruppo preselezionato);
  • predittiva — criterio rilevato successivamente (campione non preselezionato);
  • postdittiva — criterio nel passato.
  • Collegata: validità incrementale (quanto un test migliora la predizione se usato insieme ad altri).
• Validità di costrutto: grado in cui il test misura il costrutto teorico (include le componenti convergente e discriminante). Cronbach e Meehl proposero quattro tipi di validazione: predittiva, concorrente, di contenuto, di costrutto.

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Riepilogo

• La psicologia è una scienza basata su prove empiriche; la psicometria ne fornisce gli strumenti di misura.
• Si parte da un'ipotesi verificabile → si definiscono e operazionalizzano i costrutti in indicatori osservabili (modelli riflessivi vs formativi).
• Le variabili si collocano su 4 scale (nominale, ordinale, intervalli, rapporti), che determinano analisi e trasformazioni possibili.
• Il test psicologico standardizzato è una misura oggettiva; le sue parti essenziali sono materiale stimolo, foglio di notazione, manuale, griglia.
• Le due proprietà cardine sono attendibilità (X = V + E, precisione, 0–1) e validità (di contenuto, facciata, criterio, costrutto): una misura utile deve essere sia precisa sia valida.

Sommario

Per studiare un fenomeno si raccolgono dati su un campione, con l'obiettivo di generalizzare alla popolazione. Il capitolo introduce i concetti di campionamento e rappresentatività, la costruzione del database (soggetti sulle righe, variabili sulle colonne) e i modi per riassumere l'informazione tramite distribuzioni di frequenza, tabelle (a entrata singola e di contingenza) e grafici, in funzione della scala di misura.

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2.1 Il campionamento

Non potendo misurare l'intera popolazione (costi, tempi), si studia un campione. Esempio: gli exit-poll elettorali stimano il risultato finale da poche decine di migliaia di intervistati.

Concetti chiave

• Popolazione (o universo): insieme di unità di analisi simili per una o più caratteristiche oggetto di studio. Può essere finita (anche piccolissima) o infinita (es. tutti i lanci di un dado).
• Campione: la parte della popolazione su cui si misurano effettivamente le variabili.
• Campione rappresentativo: riproduce in modo adeguato le caratteristiche della popolazione rilevanti per il fenomeno (es. un campione 9M/1F non rappresenta una popolazione di studenti di psicologia, ~75% femmine).
• Campionamento: procedura di individuazione degli elementi del campione; determina la generalizzabilità dei risultati.
• Campione normativo: il campione da cui si derivano le norme di un test (i punteggi di riferimento). Se non è rappresentativo, l'interpretazione del punteggio individuale è meno oggettiva.
• Bias: distorsioni nella procedura di campionamento.

Statistiche vs parametri

	Campione	Popolazione
Misura	statistica	parametro
Notazione	alfabeto latino (es. media M)	alfabeto greco (es. media μ)

Le statistiche servono per stimare i parametri (ignoti). Un indice usato per stimare è uno stimatore; è corretto se in media coincide col parametro, distorto se se ne discosta sistematicamente.

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2.2 La costruzione del database

Regola base di organizzazione:

Le righe = soggetti (unità di analisi); le colonne = variabili.

• Prima riga: nomi delle variabili. Prima colonna: codice identificativo del soggetto.
• Il codice consente di recuperare i cartacei e di appaiare dati raccolti in momenti diversi, proteggendo l'anonimato (es. stringa alfanumerica generata dal soggetto: iniziali genitori + ultime cifre del telefono).
• Tutela dei dati: più le informazioni sono delicate, più è cruciale l'anonimato.

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2.3 Riassumere l'informazione con tabelle e grafici

Il modo ottimale dipende dalla scala di misura. Con variabili nominali o ordinali si conta quante volte compare ciascuna categoria → frequenza.

Frequenza = numero di volte che una categoria/valore viene osservato. L'insieme delle frequenze è la distribuzione di frequenza.

2.3.1 Tabelle a entrata singola

Righe/colonne con categorie e frequenze. L'ordine delle categorie:

• nominale: irrilevante (ma spesso si ordina per frequenza, per leggibilità);
• ordinale: meglio rispettare l'ordine intrinseco delle categorie.

Raggruppamento in classi (variabili metriche)

Quando i valori sono molti (molti con frequenza 1) si raggruppa in classi (intervalli).

1. Campo di variazione (range/gamma) = max − min.
2. Decidere il numero di classi oppure l'ampiezza.
3. Ampiezza = range / n_classi, approssimando sempre all'intero successivo (per non perdere valori dalla coda alta).
4. Costruire le classi procedendo di k valori in k valori dal minimo.

Esempio (40 punteggi, min 33, max 88): range = 55; per 4 classi → 55/4 = 13,75 → k = 14 → classi 33-46, 47-60, 61-74, 75-88.

Limiti tabulati vs limiti reali: il limite reale inferiore è mezza unità di misura sotto il tabulato inferiore; il reale superiore è mezza unità sopra il tabulato superiore (es. classe 33-46 → 32,5-46,5). Regole:

• limiti reali inferiori inclusi, limiti reali superiori esclusi;
• ampiezza = limite reale superiore − limite reale inferiore;
• punto medio = semisomma dei limiti (es. (33+46)/2 = 39,5).

Le classi devono essere mutuamente escludentisi e collettivamente esaustive.

Indici derivati dalle frequenze

• Frequenza relativa (proporzione) = f / n (varia 0–1).
• Percentuale = proporzione × 100.
• Frequenza cumulata = somma della frequenza di classe con quelle delle classi precedenti (→ anche proporzione/percentuale cumulata). Fornisce la "posizione in classifica" (rango) di un valore.

Le frequenze cumulate hanno senso solo se la variabile è almeno ordinale (non per variabili nominali come stato civile o nazionalità).

Convenzione APA: per valori il cui massimo è 1 (proporzioni) si omette lo zero prima della virgola (,40); si mantiene quando sono possibili valori >1.

Tabelle a entrata multipla (tavole di contingenza)

Sintetizzano due o più variabili. La tavola di contingenza (a doppia entrata) incrocia le categorie di due variabili.

• Convenzione (Agresti): variabile indipendente (causa) sulle righe, dipendente (effetto) sulle colonne. Dimensione indicata come righe × colonne (es. genere × classe → tabella 2 × 4).
• Cella: incrocio riga-colonna; contiene la frequenza congiunta.
• Marginali di riga / di colonna: totali ai margini (distribuzioni marginali).
• Notazione: f_ij (riga i, colonna j); f_i• marginale di riga, f_•j marginale di colonna.

Proporzioni condizionate

Per capire se la categoria di Y dipende dalla categoria di X, non si divide per il totale generale ma per il totale di riga (condizionate di riga) o per il totale di colonna (condizionate di colonna). Permettono di confrontare le distribuzioni (es. proporzione di maschi vs femmine entro ciascuna classe). È la base dell'analisi dei dati categoriali (→ test del chi-quadrato, Cap. 14).

2.3.2–2.3.3 Le rappresentazioni grafiche

La scelta del grafico dipende dalla scala:

• Variabili nominali/ordinali → diagramma a barre (barre separate, poiché le categorie sono discrete) e diagramma a torta (proporzioni di un tutto). Per le ordinali si rispetta l'ordine sull'asse.
• Variabili metriche raggruppate in classi → istogramma (barre contigue, perché i valori sono continui); l'area rappresenta la frequenza.
• Poligono di frequenza: linea che unisce i punti medi delle classi; utile per confrontare distribuzioni e visualizzarne la forma.
• Ogiva: poligono delle frequenze cumulate.
• Altri grafici: a dispersione (scatterplot, per due variabili metriche → Cap. 14), grafici a linee per andamenti temporali.

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Riepilogo

• Si studia un campione per inferire sulla popolazione; la rappresentatività determina la generalizzabilità.
• Statistiche (latine, sul campione) stimano parametri (greci, sulla popolazione) tramite stimatori (corretti o distorti).
• Il database: soggetti sulle righe, variabili sulle colonne, con codice anonimo.
• L'informazione si riassume con distribuzioni di frequenza; per variabili metriche si raggruppa in classi (range, ampiezza, limiti reali/tabulati, punto medio).
• Indici: frequenza, proporzione, percentuale e relative cumulate (solo da livello ordinale in su).
• Due o più variabili → tavole di contingenza con frequenze congiunte, marginali e condizionate.
• I grafici si scelgono per scala: barre/torta (categoriali), istogramma e poligono (metriche).

Sommario

La statistica descrittiva sintetizza un insieme di osservazioni con pochi indici. Una distribuzione è caratterizzata da tre aspetti: tendenza centrale (moda, mediana, media), dispersione/variabilità (range, quantili, devianza, varianza, deviazione standard) e forma (asimmetria e curtosi). La scelta dell'indice dipende sempre dalla scala di misura. I punteggi standard (z, T) permettono di confrontare misure diverse portandole sulla stessa scala.

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3.1 Misure di tendenza centrale

Un indice di tendenza centrale è un unico valore rappresentativo attorno a cui si raggruppano i dati. Quale si può calcolare dipende dalla scala:

Scala	Indici calcolabili
Nominale	moda
Ordinale	moda, mediana
Metrica (intervalli/rapporti)	moda, mediana, media

3.1.1 La moda

Moda = categoria/valore con la frequenza maggiore.

• Unico indice possibile su scala nominale; calcolabile su qualunque scala.
• Casi particolari: bimodale (2 mode), multimodale (≥3), uniforme (tutte le frequenze uguali → amodale). Con dati in classi → classe modale.
• Limite: può essere poco rappresentativa (es. moda di poco superiore alla seconda frequenza).

3.1.2 La mediana

Mediana = valore centrale della distribuzione ordinata; è maggiore del 50% dei punteggi e minore dell'altro 50%.

Utile quando la media non è calcolabile (dati ordinali, es. voti con NS e 30L) o in presenza di valori estremi.

Procedura:

1. Ordinare i valori e assegnare il rango (1…n).
2. Calcolare la posizione mediana: (n + 1) / 2.
3. n dispari → la mediana è il valore in quella posizione. n pari → la posizione è con la virgola: la mediana è la semisomma dei due valori centrali (es. (23+24)/2 = 23,5). Per variabili strettamente ordinali (categorie non sommabili) si prende il valore col rango immediatamente superiore.

⚠️ La posizione mediana non è la mediana: è la posizione in cui si trova.

Con molti valori si usano le frequenze cumulate: la mediana è il valore la cui frequenza cumulata è la prima ≥ posizione mediana. Con dati in classi → si individua la classe mediana.

3.1.3 La media (aritmetica)

$M = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = \frac{\text{somma dei valori}}{\text{numero dei valori}}$

M = media campionaria; μ (mi) = media della popolazione. Sinonimo: valore atteso (il valore più probabile in assenza di altre informazioni).

Tre proprietà fondamentali:

1. Baricentro della distribuzione → è sensibile ai valori estremi (outliers).
2. La somma degli scarti dalla media è sempre zero: Σ(x_i − M) = 0.
3. Proprietà dei minimi quadrati: la somma degli scarti al quadrato dalla media è minore di quella da qualunque altro valore. (Base di molte tecniche statistiche, es. regressione.)

Outliers: valori estremi che distorcono la media (effetto tanto maggiore quanto minore è n). Strategie: media troncata (trimmed, si esclude es. il 5% estremo), windsorizzazione (si sostituiscono gli estremi col valore non anomalo più vicino). La soluzione migliore è però un buon campionamento. Da distinguere dai dati non validi (impossibili, es. tempo di reazione negativo), che vanno eliminati.

Media con frequenze: M = Σ(f_i·x_i) / n. Con dati in classi: si usa il punto medio di ogni classe (con perdita di informazione → l'indice si distorce).

3.1.4 Scelta dell'indice

Sebbene si tenda a sfruttare il massimo dell'informazione, la media non è sempre la scelta migliore: con distribuzioni asimmetriche o con outliers la mediana è più rappresentativa (es. durata di lavatrici, redditi).

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3.2 Misure di dispersione, posizione e variabilità

Due distribuzioni con la stessa tendenza centrale possono differire per variabilità. Anche qui la scala determina l'indice.

Livello nominale e ordinale

• Indice di eterogeneità: misura quanto le frequenze sono distribuite fra le categorie (massima eterogeneità = frequenze uguali; minima = tutto in una categoria).
• Range (gamma, campo di variazione) = x_max − x_min. Limite: usa solo i due valori estremi, ignora la distribuzione interna.

Quantili

Punti che dividono la distribuzione ordinata in parti uguali:

• Quartili (Q1, Q2=mediana, Q3): dividono in 4 parti (25% ciascuna).
• Anche terzili, quintili, decili, percentili.
• Posizione del quantile: per i quartili Rango = posizione · 4 (analogo per gli altri); il rango percentile indica la % di osservazioni ≤ a un valore.
• Range interquartile (IQ) = Q3 − Q1: estensione del 50% centrale, robusto agli outliers.
• Boxplot (diagramma a scatola e baffi): la scatola va da Q1 a Q3, la linea interna è la mediana; i baffi e le distanze mediana–Q1 vs mediana–Q3 informano su forma e asimmetria.

Livello metrico: dalla devianza alla deviazione standard

• Scarto dalla media: x_i − M. Non si possono semplicemente sommare (somma = 0). Si elevano al quadrato.
• Devianza (SS, sum of squares): SS = Σ(x_i − M)². È 0 solo se tutti i valori = media; cresce con la dispersione. Limite: dipende da n.
• Varianza = devianza / numero di osservazioni:

$s^2 = \frac{\sum (x_i - M)^2}{n}$

Nota: la varianza campionaria usata nell'inferenza divide per n − 1 (gradi di libertà): è quella usata da SPSS e dalla funzione DEV.ST di Excel (DEV.ST.POP divide invece per n). Dividere per n − 1 fornisce uno stimatore con proprietà migliori.

• Deviazione standard (scarto quadratico medio) = radice quadrata della varianza, riporta l'indice alla stessa unità dei dati:

$s = \sqrt{s^2}$

• Coefficiente di variazione = s / M: misura di dispersione relativa (adimensionale), utile per confrontare variabilità di distribuzioni con medie diverse.

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3.3 I punteggi standard

Servono a confrontare punteggi di test diversi (costrutti, scale, medie e deviazioni standard diverse) portandoli sulla stessa scala. Esempio: un 23 (media 22 ± 3) "vale di più" di un 26 (media 27 ± 4), perché il primo è sopra la media di riferimento.

Standardizzazione in quantili

Ogni punteggio grezzo → rango percentile (tavole di conversione nei manuali). Sfrutta però solo l'informazione ordinale.

Punti z (punti standard)

Si usa la deviazione standard come unità di misura, trasformando la distribuzione in una con media 0 e deviazione standard 1:

$z = \frac{x - \mu}{\sigma} \qquad \text{(o, sul campione)} \qquad z = \frac{x - M}{s}$

• Esprime la distanza dalla media in deviazioni standard.
• Il segno indica la posizione: positivo = sopra la media, negativo = sotto.
• Conserva le distanze fra i punteggi grezzi ed è indipendente dalla misura originaria. Si lega alla distribuzione normale (→ Cap. 5), un tempo detta "distribuzione Z".

Punti T e altri punti standard

Trasformazione lineare dei punti z per evitare valori negativi:

nuovo punto = z · (DS desiderata) + (media desiderata)

Punteggio	Media	DS	Formula
Punti T (McCall)	50	10	z·10 + 50
QI Wechsler	100	15	z·15 + 100
QI Stanford-Binet	100	16	z·16 + 100
Stanine	5	2	z·2 + 5
Sten	5,5	2	z·2 + 5,5
Scaled Scores	10	3	z·3 + 10

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3.4 Indici di forma della distribuzione

Asimmetria (skewness, SK)

Misura quanto la distribuzione si discosta dalla simmetria. Valore di riferimento 0 (simmetrica); valori accettabili indicativamente fra −1 e +1.

• Asimmetria positiva (coda a destra): media > mediana ("gobba" a sinistra).
• Asimmetria negativa (coda a sinistra): media < mediana ("gobba" a destra).

Curtosi (kurtosis, KU)

Misura di quanta varianza è dovuta ai valori meno frequenti (le code): cioè l'appiattimento/appuntimento rispetto alla campana normale. Riferimento 0.

• Platicurtica: forma piatta, dati poco concentrati al centro (curtosi negativa).
• Leptocurtica: forma appuntita, dati molto concentrati (curtosi positiva).
• Mesocurtica / normale: campana perfetta, curtosi = 0.

Skewness e curtosi si calcolano dai momenti degli scarti dalla media (terza e quarta potenza), eventualmente con frequenze o dati in classi.

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Riepilogo

• Una distribuzione si descrive con tendenza centrale, dispersione e forma; l'indice utilizzabile dipende dalla scala di misura.
• Moda (nominale+), mediana (ordinale+, robusta agli outliers), media (metrica): la media è il baricentro, ha somma degli scarti = 0 e gode dei minimi quadrati, ma è sensibile agli outliers.
• Dispersione: range, quantili e IQ range (robusti), devianza → varianza (/n o /n−1) → deviazione standard (stessa unità dei dati).
• I punti z (z = (x−M)/s) standardizzano a media 0 e DS 1 e permettono confronti fra test; i punti T e altri sono trasformazioni lineari.
• La forma si descrive con asimmetria (relazione media-mediana) e curtosi (peso delle code): riferimento 0 = simmetrica/normale.

Sommario

La statistica inferenziale usa la teoria della probabilità per trarre conclusioni sulla popolazione a partire da campioni. Ogni decisione inferenziale è su base probabilistica: contiene una probabilità di errore quantificabile e controllabile, mai azzerabile. Il capitolo introduce i concetti base di probabilità (spazio campionario, eventi, regole della somma e del prodotto, probabilità condizionata) e di calcolo combinatorio (permutazioni, disposizioni, combinazioni), strumenti necessari per la verifica delle ipotesi.

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4.1 Concetti base della teoria della probabilità

La probabilità si applica a esperimenti aleatori, il cui esito non è certo in anticipo.

Concetti chiave

• Spazio campionario: insieme di tutti gli esiti (eventi) possibili.
• Probabilità (definizione classica, a priori): rapporto fra eventi favorevoli e possibili, se equiprobabili:

$p = \frac{\text{numero eventi favorevoli}}{\text{numero eventi possibili (spazio campionario)}}$

• Eventi semplici (un singolo esito) vs composti (insieme di più eventi semplici, sottoinsieme dello spazio campionario).

I due assiomi fondamentali

1. La probabilità di un evento è sempre compresa fra 0 (impossibile) e 1 (certo): 0 ≤ p ≤ 1.
2. La probabilità che l'evento si verifichi + quella che non si verifichi è 1: p(V) + p(non V) = 1 → eventi complementari: p(P) = 1 − p(V).

Concezione frequentista (empirica, a posteriori)

Quando lo spazio campionario non è definibile a priori, la probabilità è la frequenza relativa a lungo andare dell'evento (limite della proporzione ripetendo l'esperimento infinite volte):

$p(V) = \lim_{n \to \infty} \frac{f_V}{n}$

La replicabilità è la migliore prova della validità delle conclusioni (es. distinguere un dado onesto da uno truccato con molti lanci).

Eventi disgiunti — regola della somma ("o")

Quando l'evento favorevole è definito da più eventi distinti (congiunzione o):

• Mutuamente escludentisi (nessuna intersezione):

$p(A \cup B) = p(A) + p(B)$

Generalizzabile: p(A∪B∪…∪N) = p(A) + p(B) + … + p(N).

• Non mutuamente escludentisi (esiste intersezione, es. "pari o > 40"): si sottrae l'intersezione per non contarla due volte:

$p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$

Eventi congiunti — regola del prodotto ("e")

Quando devono verificarsi più eventi insieme (congiunzione e):

• Eventi indipendenti (il verificarsi di uno non altera l'altro):

$p(A \cap B) = p(A) \cdot p(B)$

• Eventi dipendenti (es. estrazione senza reimmissione: dopo A i casi cambiano):

$p(A \cap B) = p(A) \cdot p(B|A)$

• Probabilità condizionata p(B|A) = probabilità di B dato che A si è verificato:

$p(B|A) = \frac{p(A \cap B)}{p(A)}$

Se A e B sono indipendenti, p(B|A) = p(B) (la condizione non cambia nulla).

Mnemonico: "o" → somma (eventi disgiunti); "e" → prodotto (eventi congiunti).

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4.2 Concetti base di calcolo combinatorio

Servono a contare il numero di raggruppamenti possibili (= dimensione dello spazio campionario). Base: il fattoriale n! = n·(n−1)·(n−2)·…·1 (con 0! = 1).

Permutazioni (tutti gli n elementi, l'ordine conta)

• Semplici (serie ordinate di tutti gli n elementi distinti):

$P_n = n!$

• Circolari (disposizioni in cerchio, conta solo la posizione relativa):

$P_n^{circ} = (n-1)!$

• Con ripetizione (alcuni elementi indistinguibili, con molteplicità n₁, n₂, …):

$P_n = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!}$

Disposizioni (k su n elementi, k ≤ n, l'ordine conta)

• Semplici (k oggetti senza ripetizione, ogni ordine è diverso):

$D_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!}$

• Con ripetizione (ogni elemento può ripetersi; es. colonne del Totocalcio):

$D'_{n,k} = n^k$

Combinazioni (k su n elementi, l'ordine NON conta)

• Semplici (gruppi di classe k, distinti solo per gli elementi, non l'ordine):

$C_{n,k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} = \binom{n}{k}$

La notazione (n su k) è il coefficiente binomiale (centrale nel Cap. 5).

• Con ripetizione (un elemento può comparire più volte):

$C'_{n,k} = \binom{n+k-1}{k}$

Tabella riassuntiva

	L'ordine conta?	Ripetizione	Formula
Permutazioni semplici	sì (tutti n)	no	n!
Disposizioni semplici	sì (k su n)	no	n!/(n−k)!
Disposizioni con ripetizione	sì (k su n)	sì	n^k
Combinazioni semplici	no (k su n)	no	n!/(k!(n−k)!)
Combinazioni con ripetizione	no (k su n)	sì	(n+k−1 su k)

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Riepilogo

• La statistica inferenziale generalizza dal campione alla popolazione su base probabilistica (errore quantificabile, mai nullo).
• Probabilità = favorevoli/possibili; sempre in [0, 1]; p(V)+p(non V)=1.
• Definizione classica (a priori) vs frequentista (a posteriori, limite della frequenza relativa).
• Regola della somma (eventi disgiunti, "o"): p(A)+p(B) se escludentisi, meno p(A∩B) altrimenti.
• Regola del prodotto (eventi congiunti, "e"): p(A)·p(B) se indipendenti, p(A)·p(B|A) se dipendenti; probabilità condizionata p(B|A)=p(A∩B)/p(A).
• Calcolo combinatorio: permutazioni (tutti gli n), disposizioni (k su n con ordine), combinazioni (k su n senza ordine → coefficiente binomiale).

Sommario

Una distribuzione di probabilità è un modello teorico che associa a ogni valore di una variabile casuale la sua probabilità. Si distinguono variabili discrete (probabilità per singolo valore) e continue (probabilità = area sotto la funzione di densità in un intervallo). In ogni caso l'area totale (o la somma delle probabilità) è 1. Il capitolo approfondisce le due distribuzioni più importanti: la binomiale (eventi dicotomici) e la normale (gaussiana, base dell'inferenza).

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Concetti introduttivi

• Variabile casuale (aleatoria, stocastica): funzione che associa a ogni esito dello spazio campionario un numero reale.
• Distribuzione di frequenza → di probabilità → di probabilità cumulata: si passa dall'una all'altra dividendo per il totale (es. lancio di due dadi: ogni coppia ha p = 1/36).
• Variabile discreta: valori in insieme finito e numerabile (probabilità assegnata ai singoli valori).
• Variabile continua: tutti i valori in un intervallo reale; si usa la funzione di densità f(x), dove l'area sottesa in un intervallo = la probabilità di quell'intervallo.
• Esempio elementare: distribuzione rettangolare (uniforme), dove l'area = base × altezza dà direttamente la probabilità.
• Ogni distribuzione di probabilità ha area totale = 1. Per le continue, la probabilità di un intervallo è l'integrale di f(x) fra i due estremi (nel corso si risolve con le tavole).

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5.1 La distribuzione binomiale

Riguarda esperimenti/variabili dicotomici (due esiti mutuamente escludentisi). Attenzione: le due modalità non sono sempre equiprobabili.

• Vere dicotomie (testa/croce, Vero/Falso) vs dicotomie artificiali (sopra/sotto un cutoff, risposta corretta/errata a scelta multipla…): in queste ultime spesso p ≠ q.
• Notazione: p = probabilità a priori del successo, q = 1 − p = probabilità dell'insuccesso; n = numero di prove; k = numero di successi (0 ≤ k ≤ n).

Numero di modi: coefficiente binomiale

Il numero di modi in cui si verificano k successi su n prove è dato dalle combinazioni semplici (= triangolo di Tartaglia/Pascal):

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$

Formula della distribuzione binomiale

Probabilità di esattamente k successi (probabilità p) in n prove:

$p(k) = \binom{n}{k} \, p^{k} \, q^{\,n-k}$

La formula combina la regola del prodotto (eventi congiunti indipendenti → p^k · q^(n-k) per una specifica sequenza) con la regola della somma (le (n su k) sequenze diverse, mutuamente escludentisi).

Forma, valore atteso e variabilità

• Se p = q = ,50 la distribuzione è simmetrica; tanto più p si discosta da ,50, tanto più è asimmetrica.
• Valore atteso (speranza matematica, media): μ = n·p.
• Varianza: σ² = n·p·q.
• Deviazione standard: σ = √(n·p·q).

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5.2 La distribuzione normale (gaussiana)

Riguarda variabili continue; "salta fuori" in moltissimi ambiti (errori di misura, altezza, QI…). Prende il nome da Gauss.

• È definita da due parametri — la media μ e la deviazione standard σ — e da due costanti (π ed e). μ e σ sono esattamente il valore atteso e la deviazione standard della distribuzione.

Proprietà della distribuzione normale

1. È campanulare e simmetrica attorno alla media μ.

2. Unimodale: media = mediana = moda coincidono.

3. Si estende da −∞ a +∞ ed è asintotica (le code si avvicinano all'asse senza toccarlo).

4. L'area sottesa alla curva è 1.

5. Regola empirica (aree sotto la curva rispetto a μ):

   Intervallo	% delle osservazioni
   μ ± 1σ	68,26%
   μ ± 2σ	95,46%
   μ ± 3σ	99,73%

   (Verificato empiricamente, es. sull'altezza degli adolescenti e sul QI.)

La distribuzione normale standardizzata e le tavole

Esistono infinite normali (una per ogni coppia μ, σ). Per calcolare le probabilità si standardizza in punti z (→ Cap. 3):

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

ottenendo la normale standardizzata (μ = 0, σ = 1). Le tavole in appendice (un tempo "distribuzione Z") danno l'area (probabilità) associata a ciascun valore di z, evitando di calcolare l'integrale. Così si trova la probabilità che un valore sia in un intervallo, sopra o sotto una soglia.

Esempio QI (μ = 100, σ = 15): circa il 68% della popolazione ha QI fra 85 e 115; un QI di 130 (z = +2) è superato solo dal ~2,3% della popolazione.

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Riepilogo

• Una distribuzione di probabilità assegna probabilità ai valori di una variabile casuale; area/somma totale = 1. Discreta → singoli valori; continua → area sotto la densità f(x).
• Binomiale (dicotomie): p(k) = (n su k)·p^k·q^(n−k); media np, varianza npq, DS √(npq). Coefficiente binomiale = triangolo di Pascal.
• Normale (gaussiana): definita da μ e σ; campanulare, simmetrica, unimodale (media=mediana=moda), asintotica, area = 1.
• Regola empirica: ~68% / ~95% / ~99,7% entro ±1σ / ±2σ / ±3σ.
• Si standardizza con z = (x−μ)/σ per usare le tavole della normale standard: ponte fondamentale verso l'inferenza statistica.

Sommario

Mentre le distribuzioni di probabilità riguardano i singoli casi, le distribuzioni campionarie riguardano una statistica (es. la media) calcolata su tutti i possibili campioni di ampiezza n. Da esse derivano due risultati chiave: il teorema del limite centrale e la legge dei grandi numeri, che spiegano perché la media campionaria è una buona stima di quella della popolazione. Su questa base si costruiscono gli intervalli di fiducia, che indicano entro quali valori cade un parametro con una data probabilità.

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6.1 Distribuzioni campionarie

Distribuzione campionaria = distribuzione di probabilità di una statistica (es. media, proporzione), calcolata su tutti i possibili campioni di ampiezza n estraibili dalla popolazione.

Per costruirla:

1. individuare tutti i campioni di ampiezza n (estrazione casuale e indipendente);
2. calcolare in ciascuno la statistica di interesse;
3. determinarne la distribuzione di frequenza.

Differenza con una distribuzione di probabilità: qui la frequenza riguarda i campioni, non i singoli casi.

Proprietà della distribuzione campionaria della media

1. Media: la media delle medie campionarie è uguale alla media della popolazione: μ_M = μ. (La media campionaria è uno stimatore corretto.)
2. Errore standard (deviazione standard della distribuzione campionaria della media): misura quanto le medie campionarie si disperdono attorno a μ:

$\sigma_M = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

3. Forma: tende alla normale all'aumentare di n (vedi TLC), qualunque sia la forma della distribuzione nella popolazione.

Errore standard: precisazioni

• La formula σ_M = σ/√n vale per popolazione infinita o campionamento con reinserimento. Per popolazione finita e campionamento senza reinserimento si moltiplica per il fattore di correzione:

$\sqrt{\frac{N - n}{N - 1}}$

• Se σ della popolazione è ignota, si stima dalla deviazione standard campionaria s:

$\hat{\sigma}_M = \frac{s}{\sqrt{n - 1}}$

(l'accento circonflesso ˆ indica una stima, non il valore esatto).

• L'errore standard misura quanto M è una stima precisa di μ: errore standard basso → medie campionarie poco variabili → stima più precisa.

Teorema del limite centrale (TLC)

Indipendentemente dalla forma della distribuzione della variabile nella popolazione, la distribuzione campionaria delle medie tende alla normale all'aumentare di n, e si considera normale per n ≥ 30.

L'ampiezza 30 è il "numero magico" che permette di usare la normale per la media campionaria nella maggior parte delle ricerche.

Legge dei grandi numeri

All'aumentare di n, l'errore standard diminuisce (σ_M = σ/√n), tendendo a zero per n → ∞: la distribuzione delle medie campionarie si "assottiglia" attorno alla media della popolazione (tutte le medie tendono a coincidere con μ).

Uso per il calcolo di probabilità

Note statistiche e parametri, si può calcolare la probabilità di osservare un campione con una data caratteristica. Per una proporzione su variabile dicotomica si usa la binomiale (es. probabilità che ≥ 8 studenti su 10 superino l'esame se nella popolazione p = ,53 → si sommano p(8)+p(9)+p(10)). La distribuzione campionaria di una proporzione è approssimabile alla normale solo se sia N·p sia N·(1−p) sono > 10.

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6.2 Intervalli di fiducia della media e di una proporzione

Nella pratica il problema è inverso: stimare il parametro della popolazione a partire dalle statistiche del campione.

Intervallo di fiducia (confidence interval) = intervallo di valori entro cui, con una probabilità nota (livello di fiducia), ricade il parametro della popolazione.

Non avremo mai la certezza che il parametro cada nell'intervallo, ma ne conosciamo in anticipo la probabilità. Livelli classici: 90%, 95%, 99%.

Intervallo di fiducia della media (n ≥ 30, σ ignota)

Si individuano i due punti z che racchiudono la percentuale centrale desiderata. Il valore di area da cercare sulle tavole è:

$p = \frac{1 - \text{livello di fiducia}}{2}$

(es. per il 95%: (1−,95)/2 = ,025 su ciascuna coda). I punti z critici:

Livello di fiducia	Area per coda	z critico
90%	,05	1,65
95%	,025	1,96
99%	,005	2,58

Formula dell'intervallo (per μ, stimando l'errore standard):

$M - z \cdot \frac{s}{\sqrt{n-1}} \;<\; \mu \;<\; M + z \cdot \frac{s}{\sqrt{n-1}}$

Esempio: M = 60, s = 10, n = 82, al 95% → 60 ± 1,96·(10/√81) → 57,82 < μ < 62,18.

• A livelli di fiducia maggiori corrispondono intervalli più ampi (più sicurezza ⇒ meno precisione); a livelli minori, intervalli più stretti.
• Se n < 30 e σ è ignota, non si usa la normale ma la distribuzione t di Student (→ Cap. 8).

Caso inverso e proporzione

• Note media e DS della popolazione (es. dati normativi di un test), si può costruire l'intervallo entro cui deve cadere la media campionaria perché il campione sia rappresentativo.
• La stessa logica si applica a una proporzione: si stima l'intervallo entro cui cade la proporzione campionaria o quella della popolazione, per un dato livello di fiducia.

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Riepilogo

• La distribuzione campionaria descrive una statistica su tutti i campioni di ampiezza n; per la media: μ_M = μ e errore standard σ_M = σ/√n.
• TLC: la distribuzione delle medie tende alla normale per n ≥ 30, qualunque sia la distribuzione di partenza.
• Legge dei grandi numeri: all'aumentare di n l'errore standard → 0 (stima sempre più precisa).
• L'intervallo di fiducia dà l'intervallo entro cui cade il parametro con probabilità nota; punti z critici 1,65 / 1,96 / 2,58 per 90 / 95 / 99%.
• Maggiore fiducia ⇒ intervallo più ampio; con n < 30 si usa la distribuzione t.

Sommario

Questo è il cuore logico del libro. La verifica delle ipotesi è la procedura con cui si decide, su base probabilistica, se ciò che si è osservato in un campione è compatibile con una condizione assunta nella popolazione. Si formulano due ipotesi (nulla e alternativa), si calcola la probabilità dei dati sotto l'ipotesi nulla e la si confronta con una soglia (livello di significatività α). La decisione comporta due possibili errori (I e II tipo), legati alla potenza del test. L'approccio è falsificazionista.

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La logica di base (l'esempio della moneta)

Un amico ottiene 10 teste su 10 lanci. Due spiegazioni sono entrambe compatibili coi dati: moneta onesta ma fortunata ("Gastone") oppure truccata ("Lupin"). Non potendo controllare fisicamente la moneta, si decide su base probabilistica.

Punto chiave: non possiamo calcolare la probabilità sotto l'ipotesi che vogliamo sostenere (la moneta è truccata), perché non sappiamo quanto è truccata. Possiamo però calcolarla sotto l'ipotesi che la moneta è onesta (p = ,50 → ,50¹⁰). Quindi si lavora sempre su quest'ultima.

Verifica delle ipotesi vs stima dei parametri

• Verifica delle ipotesi: la moneta è onesta? (sì/no)
• Stima dei parametri: quanto vale esattamente p? (→ intervalli di fiducia, Cap. 6).

Nella pratica spesso basta la prima.

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Le due ipotesi

Si confrontano sempre due ipotesi (notazione: parametro della popolazione in lettere greche, es. Π per la proporzione):

• Ipotesi nulla (H₀): assume che il parametro sia uguale a un valore preciso → ci permette di calcolare la probabilità (es. Π = ,50 → l'effetto non esiste).
• Ipotesi alternativa (H₁) (sperimentale, sostantiva): quella che vogliamo sostenere, ma in cui il valore del parametro non è determinabile con certezza (es. Π > ,50 → l'effetto esiste).

Direzionalità di H₁

• Monodirezionale (destra > o sinistra <): quando una teoria indica la direzione attesa (es. la psicoterapia riduce i sintomi). α va tutto in una coda.
• Bidirezionale (≠): quando non si conosce la direzione (es. differenze M/F a un nuovo test). α va diviso fra le due code (α/2 ciascuna).

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La procedura

1. Si calcola la probabilità p = probabilità che i dati osservati siano il risultato di un'ipotesi nulla vera: p(dati | H₀ vera).
2. Si confronta p con il livello di significatività α, lo "spartiacque" fra l'improbabile e il non-così-improbabile.
3. Si decide:
   • p < α → troppo improbabile che i dati derivino da H₀ vera → si rifiuta H₀ (e si accetta H₁).
   • p ≥ α → non così improbabile → si accetta (tollera) H₀.

Rifiutare H₀ è condizione necessaria ma non sufficiente per affermare H₁ in senso forte: si conclude solo che è troppo improbabile che H₀ sia vera. Non si dimostra mai che H₀ è falsa, solo che è improbabile.

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Gli errori e la potenza

Poiché la decisione è probabilistica, può sbagliare. Le distribuzioni di H₀ e H₁ sono parzialmente sovrapposte, quindi:

Decisione \ Realtà	H₀ vera	H₀ falsa
Accetto H₀	Corretta (1 − α)	Errore II tipo (β)
Rifiuto H₀	Errore I tipo (α)	Corretta = Potenza (1 − β)

• Errore di I tipo (α): rifiutare H₀ quando è vera = considerare vero un fenomeno falso (dare dell'imbroglione a chi è solo fortunato).
• Errore di II tipo (β): accettare H₀ quando è falsa = considerare falso un fenomeno vero.
• Potenza (1 − β): probabilità di accettare correttamente H₁ quando è vera.

Trade-off: abbassare troppo α riduce l'errore di I tipo ma dilata β (e viceversa). Serve un compromesso.

Il valore α = ,05

Convenzione storica dovuta a R. Fisher (1925): "una su venti". Con α = ,05 si ottiene tipicamente un β ottimale attorno a ,20 (potenza ~,80). Si possono usare anche ,01 o ,02 per maggiore severità.

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Regione di accettazione e di rifiuto

α è definito sulla distribuzione di H₀. Si individuano:

• regione di accettazione di H₀ (area = 1 − α);
• regione di rifiuto di H₀ (area = α), dove H₀ è ancora vera ma considerata troppo improbabile.

Posizione della regione di rifiuto secondo la direzionalità di H₁:

• monodirezionale destra → coda destra (area α);
• monodirezionale sinistra → coda sinistra (area α);
• bidirezionale → entrambe le code (area α/2 ciascuna).

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L'approccio falsificazionista e il paradigma NHST

L'ipotesi che vogliamo sostenere è di solito H₁; per supportarla cerchiamo di falsificare H₀ (dimostrare che è troppo improbabile). Si rifà a Karl Popper: la scienza procede per falsificabilità, non per verificabilità — un esperimento può smentire una teoria, mai confermarla in modo definitivo.

Il paradigma usato in psicologia è la Verifica della Significatività dell'Ipotesi Nulla (VeSN / NHST), ibrido di due approcci:

PVA (Fisher, 1925)	FAA (Neyman-Pearson, 1933)
α variabile, calcolato dopo il test	α fisso, stabilito prima
Pone solo H₀	Pone sia H₀ sia H₁
Calcola p(dati | H₀)	Specifica l'errore di I tipo e le regioni di accettazione/rifiuto
Rifiuta H₀ se p è piccolo, altrimenti la "tollera"	Decide quale ipotesi accettare fra due

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Riepilogo

• La verifica delle ipotesi decide su base probabilistica se i dati del campione sono compatibili con una condizione assunta nella popolazione.
• Si lavora su H₀ (parametro = valore noto, calcolabile) per sostenere H₁ (ciò che si vuole dimostrare), mono- o bidirezionale.
• Regola decisionale: p < α → rifiuto H₀; p ≥ α → accetto H₀.
• Due errori: I tipo (α) = rifiutare H₀ vera; II tipo (β) = accettare H₀ falsa. Potenza = 1 − β. Trade-off fra α e β; convenzione α = ,05.
• Logica popperiana/falsificazionista; paradigma NHST = ibrido Fisher (PVA) + Neyman-Pearson (FAA).

Sommario

Si applica la logica del Cap. 7 al confronto fra un campione e una popolazione (di cui si conoscono i parametri), per stabilire se il campione ne è omogeneo/rappresentativo. I test si scelgono in base alla scala di misura: nominale (binomiale/segni, chi-quadrato), ordinale (test della mediana), metrica (test z e test t per un campione). Per ogni test si calcola anche la dimensione dell'effetto.

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8.1 Scala nominale

8.1.1 Test della binomiale (test dei segni)

Test esatto: calcola direttamente la probabilità dei dati sotto H₀, usando la distribuzione binomiale.

• Es. contrasto di chiarezza: 17/20 scelgono "Bianco". H₀: Π = ,50; H₁: Π > ,50.
• La probabilità da confrontare con α non è puntiforme ma di area: si somma la probabilità dell'esito osservato e di quelli più estremi (qui: 17, 18, 19, 20 → "almeno 17").

$p(\text{almeno } k) = \sum_{i=k}^{n} \binom{n}{i}\,\Pi^{i}\,(1-\Pi)^{n-i}$

• Decisione: p < α → rifiuto H₀. (Esempio: p = ,0013 < ,05 → effetto esiste.)
• Se H₁ è bidirezionale, si confronta con α/2 (es. ,025).
• Funziona anche con Π ≠ ,50 (es. proporzione attesa ,30).

8.1.2 Test della binomiale per campioni ampi

Con n grande il calcolo esatto è impraticabile → si usa l'approssimazione normale: si trasforma la proporzione campionaria in punti z:

$z = \frac{P - \Pi}{\sqrt{\dfrac{\Pi\,(1-\Pi)}{n}}}$

• Si confronta z calcolato con z critico (il valore di z che lascia un'area α oltre di sé).
• Regola: z calcolato > z critico → rifiuto H₀ (in valore assoluto).

  Es.: P = ,56, Π = ,48, n = 150 → z = 1,97 > 1,75 (α = ,04) → rifiuto.

8.1.3 Dimensione dell'effetto (binomiale)

$g = P - \Pi$

(moltiplicando per 2 si ottiene la metrica di r). Si interpreta con le tavole di Cohen (piccola/moderata/grande). La significatività dipende anche da n: con n piccolo un effetto moderato può non risultare significativo.

8.1.4 Test del chi-quadrato per un campione (Pearson, 1900)

Verifica se una distribuzione di frequenze osservate (su una variabile con k categorie) si discosta da una distribuzione di frequenze attese.

$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(f_o - f_a)^2}{f_a}$

• f_o = frequenze osservate, f_a = frequenze attese (con stessa somma delle osservate). Si elevano al quadrato gli scarti (la loro somma sarebbe 0).
• Gradi di libertà: gdl = k − 1 (una frequenza è ridondante, determinata dal totale).
• La distribuzione teorica χ² è una famiglia (una per ogni gdl): sempre ≥ 0, asimmetrica positiva, asintotica.
• Decisione: χ² calcolato > χ² critico (dalle tavole, per gdl e α) → rifiuto H₀. Eventuali test post-hoc localizzano in quali categorie sta la discrepanza.

8.1.5 Considerazioni sul chi-quadrato

Richiede frequenze attese non troppo piccole (regola comune: ≥ 5). Il test della binomiale non ha invece restrizioni di applicabilità.

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8.2 Scala ordinale — Test della mediana

Se è nota la mediana della popolazione (Me), si verifica se quella campionaria se ne discosta:

• Si contano i valori del campione maggiori (n_SUP) e minori (n_INF) della mediana della popolazione; i valori uguali si escludono.
• È di fatto un test della binomiale con cutoff = mediana della popolazione (se le mediane coincidono, metà dei valori cade sopra e metà sotto → Π = ,50).
• Si confronta il numero di "successi" con i valori critici di T (tavole), per α e n.
• Dimensione dell'effetto: g = P − ,50.

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8.3 Scala metrica (intervalli e rapporti)

Si verifica se la media di un campione differisce da quella di una popolazione di cui sono noti μ (e talvolta σ).

8.3.1 Test z per un campione (σ nota)

Quando σ della popolazione è nota (e la distribuzione è normale, oppure n ≥ 30):

$z = \frac{M - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

• Decisione: |z calcolato| > z critico → rifiuto H₀.
• Se la distribuzione nella popolazione è normale e σ è nota, n < 30 non è un problema. Per popolazione finita si applica il fattore di correzione.

Equivalenza con l'intervallo di fiducia: con H₁ bidirezionale, verificare se M cade fuori dall'intervallo di fiducia equivale a verificare se cade nella zona di rifiuto di H₀.

8.3.2 La distribuzione t di Student e il test t (σ ignota)

Quando σ è ignota, si stima dall'errore standard campionario e si usa la distribuzione t di Student (non la normale):

$t = \frac{M - \mu}{s / \sqrt{n - 1}}$

• Gradi di libertà: ν = n − 1.
• La t è simile alla normale ma con code più pesante (valori estremi più probabili); tende alla normale all'aumentare dei gdl.
• Tavole di t: gdl sulle righe, α sulle colonne → t critico (es. n = 10, α = ,05 bidirezionale → t critico = 2,262).
• Decisione: |t calcolato| > t critico → rifiuto H₀.

8.3.4 Dimensione dell'effetto (z e t)

La misura "classica" per i test sulle medie è il d di Cohen:

$d = \frac{M - \mu}{s}$

Da calcolare sempre, perché la significatività dipende anche da n; può essere convertita nella metrica di r. Interpretazione con le tavole di Cohen.

8.3.5–8.3.6 Altri elementi

• Dimensione ottimale del campione per un test z: si può determinare a priori fissando potenza ed effetto atteso.
• Test sulla varianza e intervallo di fiducia della varianza: si usa la distribuzione χ² per verificare ipotesi su σ².

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Schema riassuntivo dei test (un campione)

Scala	Parametro	Test	Statistica / df
Nominale (dicotomica)	proporzione	binomiale / segni	esatto; ampi → z = (P−Π)/√(Π(1−Π)/n)
Nominale (k categorie)	distribuzione	chi-quadrato	χ² = Σ(fo−fa)²/fa, df = k−1
Ordinale	mediana	test della mediana	binomiale con cutoff = Me
Metrica (σ nota)	media	test z	z = (M−μ)/(σ/√n)
Metrica (σ ignota)	media	test t	t = (M−μ)/(s/√(n−1)), df = n−1

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Riepilogo

• L'obiettivo è stabilire se un campione è omogeneo con una popolazione di parametri noti; il test si sceglie per scala di misura.
• Nominale: binomiale/segni (esatto; ampi → z sulla proporzione) e chi-quadrato (Σ(fo−fa)²/fa, df = k−1).
• Ordinale: test della mediana (binomiale con cutoff).
• Metrica: test z (σ nota) e test t (σ ignota, distribuzione t, df = n−1).
• Regola generale: |statistica calcolata| > valore critico → rifiuto H₀.
• Calcolare sempre la dimensione dell'effetto (g per proporzioni, d di Cohen per le medie): la significatività dipende anche da n.

Sommario

Capitolo concettuale ponte: introduce lo studio della relazione fra due variabili (analisi bivariata), che caratterizza i capitoli successivi. Chiave è la distinzione fra covariazione (ciò che si osserva) e causazione (ciò che si vorrebbe dimostrare): la covariazione è condizione necessaria ma non sufficiente per la causalità. Solo il vero esperimento (manipolazione + randomizzazione + controllo) permette inferenze causali forti. Si descrivono i criteri di causalità e i tipi di relazione fra variabili.

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9.1 Covariazioni esatte e probabilistiche

Due variabili sono in relazione quando tendono a variare insieme (covariazione).

• Le relazioni in psicologia sono probabilistiche, non esatte: "se fumatore, probabilmente (non sicuramente) cancro ai polmoni".
• Un singolo controesempio (il nonno fumatore morto di vecchiaia) non contraddice una relazione probabilistica.

9.2 Covariazione e causazione

• Variabile indipendente (causa) vs variabile dipendente (effetto, outcome, risposta).
• A livello empirico si osserva solo la covariazione, mai un "fluido causale". Anche nei casi più ovvi, spiegazioni alternative possono essere coerenti coi dati (la bilia mossa da telecomando).
• È la teoria/conoscenza del fenomeno a interpretare la relazione come causale; i dati da soli non bastano.

9.3 Non c'è causazione senza manipolazione (Rubin, 1986)

Esempi storici: Lind e lo scorbuto (vero esperimento → agrumi efficaci); Silverman e l'ACTH (prima confronto osservativo fuorviante, poi vero esperimento che ribalta il risultato).

Le tre condizioni del vero esperimento (RCT)

1. Manipolazione della variabile indipendente: il ricercatore produce e controlla i suoi livelli (dosaggio, durata…).
2. Assegnazione casuale dei partecipanti ai livelli (randomizzazione): nulla, a parte il caso, deve determinare in quale gruppo finisce un soggetto.
3. Gruppo di controllo: un gruppo che non riceve trattamento (o ne riceve uno a effetti noti). Necessario per attribuire i cambiamenti al trattamento.

La randomizzazione garantisce che i gruppi siano omogenei rispetto a tutte le variabili (note, ignote, inosservabili): così l'unica differenza è il trattamento.

Quasi-esperimenti e studi osservativi

Quando la variabile non è manipolabile (per motivi pratici o etici) e/o manca l'assegnazione casuale (es. confronto fra studenti lavoratori/non lavoratori):

• I gruppi sono precostituiti; la variabile di raggruppamento è una variabile del soggetto.
• Le inferenze causali si riducono drasticamente: variabili non controllate (età, genere, status socio-economico…) si confondono con il presunto effetto.

Variabili esogene ed endogene

	Vero esperimento	Studio osservativo
Variabile indipendente	esogena (varia in modo casuale e indipendente)	endogena (dipende da altre cause)
Inferenza causale	forte	debole

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9.4 Valutare la causalità

X è causa di Y se un cambiamento in X produce sistematicamente un cambiamento in Y.

Caratteristiche di una relazione causale:

• Direzionalità (asimmetria): il cambiamento della causa precede quello dell'effetto.
• Produzione: il cambiamento dell'effetto è prodotto da quello della causa.
• Specificità (ceteris paribus): nessun'altra causa influisce, mantenendo costanti tutte le altre variabili.

⚠️ Gli studi cross-sezionali/trasversali (variabili misurate nello stesso momento) non permettono conclusioni causali (caso Fisher vs Doll-Hill sul fumo). Servono studi longitudinali in cui la causa è osservata prima dell'effetto (British Doctor Study).

Tipi di fattori causali

Fattore	Esempio
Necessario e sufficiente	mutazione gene Tay-Sachs (rarissimo in psicologia)
Necessario ma non sufficiente	HIV per l'AIDS
Sufficiente ma non necessario	radiazioni o benzene per la leucemia
Né necessario né sufficiente	molte cause dei disturbi psichiatrici

Criteri di valutazione

• Fattore temporale (causa prima dell'effetto; effetto rapido = più convincente);
• Replicabilità del risultato;
• Forza dell'associazione (= dimensione dell'effetto — la significatività dipende da n);
• Plausibilità teorica ed esclusione di spiegazioni alternative.

La causalità è difficile da provare quando: l'effetto è piccolo, c'è scarsa variabilità, l'intervallo causa-effetto è lungo, manca una misura valida della causa.

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9.5 Tipi di relazioni fra variabili

• Relazione diretta: la causa produce l'effetto senza mediazione (ore di studio → voto).
• Relazione indiretta: il legame è mediato da una terza variabile (mediatore / variabile interveniente), lungo una catena causale (es. etnia → livello educativo/reddito → QI). Concetto alla base della rivoluzione cognitivista (Tolman, Hull, Hebb; Baron e Kenny, 1986).
• Relazione condizionata: una terza variabile (moderatore) modifica la forza/direzione della relazione (es. il livello di ostilità modera l'effetto del tipo di psicoterapia).
• Relazione reciproca: le due variabili si influenzano a vicenda (ansia ↔ prestazione), direttamente o indirettamente.
• Relazione spuria: covariazione senza legame causale, dovuta a una variabile terza (numero di cicogne ↔ numero di bambini, entrambi legati alle dimensioni della città).

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Riepilogo

• L'analisi bivariata valuta se esiste una relazione fra X e Y; il test si sceglie per scala delle variabili (differenza fra medie o coefficiente di associazione).
• Covariazione ≠ causazione: variare insieme è necessario ma non sufficiente per la causalità.
• Solo il vero esperimento (manipolazione + randomizzazione + gruppo di controllo) rende la variabile esogena e consente inferenze causali forti; gli studi osservativi lasciano la variabile endogena.
• Caratteristiche causali: direzionalità, produzione, specificità (ceteris paribus); servono studi longitudinali, non cross-sezionali.
• Tipi di relazione: diretta, indiretta (mediatore), condizionata (moderatore), reciproca, spuria.

Sommario

Si confrontano due campioni indipendenti (gruppi diversi di soggetti, es. maschi vs femmine, trattati vs controlli) per stabilire se differiscono rispetto a una variabile. Il test si sceglie per scala di misura: nominale (differenza fra proporzioni / chi-quadrato 2×2), ordinale (U di Mann-Whitney), metrica (test z/t per medie indipendenti + test F per l'omogeneità delle varianze). Per ogni test si calcola la dimensione dell'effetto.

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10.1 Scala nominale — Differenza fra due proporzioni

Si verifica se due gruppi differiscono nella proporzione di una caratteristica.

• Il test lavora sull'errore standard della differenza fra le proporzioni; si trasforma la differenza in punti z e si confronta con z critico.
• Per campioni piccoli ci si riferisce alla distribuzione t (df = n₁ + n₂).
• Equivale al test del chi-quadrato per l'indipendenza su una tabella 2×2 (→ Cap. 14).

Dimensione dell'effetto (10.1.1)

h di Cohen: nella stessa metrica del d per le medie; convertibile nella metrica di r. Interpretazione con le tavole di Cohen.

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10.2 Scala ordinale — Test U di Mann-Whitney

Test non parametrico per due campioni indipendenti su scala ordinale (o metrica quando le assunzioni del t non sono rispettate); noto anche come Wilcoxon-Mann-Whitney (Mann e Whitney, 1947).

Procedura:

1. Si ordinano tutti i valori dei due gruppi insieme e si assegna il rango (a valori ex aequo si dà il rango medio).
2. Si sommano i ranghi di ciascun gruppo (S_ranghi).
3. Si calcola la statistica U dalle somme dei ranghi e dalle ampiezze campionarie (n₁, n₂).
4. Si confronta U con i valori critici (tavole di U, per n₁, n₂ e α).

Ipotesi formulate in termini di mediana delle popolazioni (Me₁ = Me₂).

Dimensione dell'effetto (10.2.1)

Si ottiene da U / dal punto z associato, nella metrica di r.

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10.3 Scala metrica

10.3.1 Differenza fra due medie (test z / test t)

Si verifica H₀: μ₁ = μ₂ (cioè μ₁ − μ₂ = 0). Si lavora sull'errore standard della differenza fra le medie:

• σ note → la differenza si distribuisce come la normale → test z.
• σ ignote → la differenza si distribuisce come t di Student → test t per campioni indipendenti:

$t = \frac{M_1 - M_2}{s_{(M_1 - M_2)}}$

• Gradi di libertà: ν = n₁ + n₂ − 2 = (n₁ − 1) + (n₂ − 1).
• Decisione: |t calcolato| > t critico → rifiuto H₀ (es. df = 25, α = ,05 bidirezionale → t critico = 2,060).

10.3.3 Omogeneità delle varianze — Test F

Per verificare se i due campioni hanno varianze omogenee (assunzione del test t) si usa il test F, basato sul rapporto fra le due varianze (varianza maggiore al numeratore). Si confronta con il valore critico della distribuzione F di Fisher (con i rispettivi gradi di libertà).

10.3.2 Dimensione dell'effetto

d di Cohen per la differenza fra le due medie (convertibile nella metrica di r).

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Schema riassuntivo (due campioni indipendenti)

Scala	Test	Statistica / df
Nominale	differenza fra proporzioni / chi-quadrato 2×2	z (o t)
Ordinale	U di Mann-Whitney	U, da somme dei ranghi
Metrica (σ note)	test z per medie	z
Metrica (σ ignote)	test t indipendenti	t = (M₁−M₂)/SE, df = n₁+n₂−2
Metrica (varianze)	test F	rapporto fra varianze

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Riepilogo

• Confronto fra due gruppi indipendenti; test scelto per scala.
• Nominale: differenza fra proporzioni (≡ chi-quadrato 2×2), effetto h di Cohen.
• Ordinale: U di Mann-Whitney, basato sui ranghi (ipotesi sulle mediane).
• Metrica: test t per campioni indipendenti (df = n₁+n₂−2), test F per l'omogeneità delle varianze, effetto d di Cohen.
• Regola generale: |statistica calcolata| > valore critico → rifiuto H₀.

Sommario

Si confrontano due campioni dipendenti (o appaiati): gli stessi soggetti misurati due volte (es. pre/post trattamento) o soggetti appaiati. La dipendenza richiede test specifici, diversi da quelli per campioni indipendenti (Cap. 10), perché si lavora sulle differenze interne a ciascuna coppia. Test per scala: nominale (McNemar), ordinale (Wilcoxon), metrica (test t per campioni dipendenti).

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11.1 Scala nominale — Test di McNemar

Per due proporzioni dipendenti (es. % di risposte corrette dello stesso gruppo prima e dopo un intervento) si usa il test di McNemar (McNemar, 1947).

• Si costruisce una tabella 2×2 delle coppie; il test si concentra sulle celle discordanti (i soggetti che cambiano stato fra le due rilevazioni).
• È distribuito come chi-quadrato.

Dimensione dell'effetto (11.1.1)

g = differenza fra le due proporzioni (es. g = ,17 → effetto moderato).

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11.2 Scala ordinale — Test di Wilcoxon

Test non parametrico per due campioni dipendenti su scala ordinale; noto come test dei ranghi con segno di Wilcoxon. È l'analogo "appaiato" del Mann-Whitney.

Procedura:

1. Si calcola la differenza fra le due misure per ciascuna coppia.
2. Si ordinano le differenze in valore assoluto e si assegna il rango.
3. Si riattribuisce a ogni rango il segno della differenza e si sommano separatamente i ranghi positivi e negativi.
4. La statistica si confronta con i valori critici (la regola di decisione è invertita rispetto agli altri test: si rifiuta H₀ per valori piccoli).

Dimensione dell'effetto (11.2.1)

r = z / √n (dal punto z associato); es. effetto "piccolo".

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11.3 Scala metrica — Test t per campioni dipendenti

Si verifica se la media delle differenze fra le due rilevazioni è diversa da zero. Si calcolano le differenze D_i = x_i(1) − x_i(2) per ogni soggetto e si applica un test t sulla media delle differenze:

$t = \frac{\bar{D}}{s_D / \sqrt{n}}$

• Gradi di libertà: ν = n − 1 (n = numero di coppie).
• Se σ è nota / n grande si può usare la normale; altrimenti la distribuzione t.
• Decisione: |t calcolato| > t critico → rifiuto H₀.

Dimensione dell'effetto (11.3.1)

d di Cohen sulle differenze, convertibile nella metrica di r.

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Schema riassuntivo (due campioni dipendenti)

Scala	Test	Note
Nominale	McNemar	celle discordanti; distribuito come χ²
Ordinale	Wilcoxon (ranghi con segno)	ranghi delle differenze; rifiuto per valori piccoli
Metrica	test t dipendenti	t = D̄/(s_D/√n), df = n−1

Differenza chiave con il Cap. 10: qui i dati sono appaiati, quindi si analizzano le differenze all'interno di ogni coppia, non le due distribuzioni separate.

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Riepilogo

• Confronto fra due misure dipendenti/appaiate (stessi soggetti o coppie); si lavora sulle differenze.
• Nominale: McNemar (basato sui cambiamenti, distribuito come χ²), effetto g.
• Ordinale: Wilcoxon dei ranghi con segno (analogo appaiato del Mann-Whitney), effetto r = z/√n.
• Metrica: test t per campioni dipendenti (t = D̄/(s_D/√n), df = n−1), effetto d di Cohen.

Sommario

Si generalizza il confronto a tre o più campioni indipendenti (k > 2). Test per scala: nominale (chi-quadrato su tabella k-categorie), ordinale (Kruskal-Wallis), metrica (analisi della varianza, ANOVA). Tutti questi sono test omnibus (dicono se esiste una differenza fra i gruppi, non quali gruppi differiscono): per localizzarla servono i test post-hoc.

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Concetto chiave: test omnibus e post-hoc

Un test omnibus (chi-quadrato, Kruskal-Wallis, ANOVA) verifica l'ipotesi nulla "tutti i gruppi sono uguali". Se viene rifiutata, non dice quali coppie differiscono: per scoprirlo si usano i test post-hoc (confronti fra coppie).

Possibili incongruenze: l'omnibus può risultare significativo senza che alcun post-hoc lo sia, o viceversa (motivo per cui non vanno usati a casaccio).

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12.1 Scala nominale — Chi-quadrato per k campioni

Generalizza il chi-quadrato a una variabile di confronto con k gruppi (e una variabile di esito categoriale). Si confrontano frequenze osservate e attese:

$\chi^2 = \sum \frac{(f_o - f_a)^2}{f_a}, \qquad gdl = k - 1$

(per variabile di esito politomica → chi-quadrato per l'indipendenza, Cap. 14). Si confronta con il χ² critico (tavole, per gdl e α).

Dimensione dell'effetto

w (variante, nella metrica di r), calcolata da:

$\text{effetto} = \sqrt{\frac{\chi^2}{n \cdot \min(r-1,\, c-1)}}$

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12.2 Scala ordinale — Test di Kruskal-Wallis

Test non parametrico (Kruskal e Wallis, 1952): generalizzazione del Mann-Whitney a k > 2 gruppi.

• Si ordinano tutti i valori insieme, si assegnano i ranghi e si sommano per gruppo.
• La statistica KW è distribuita come chi-quadrato con gdl = k − 1.
• Decisione: KW > χ² critico → rifiuto H₀; poi post-hoc per individuare i gruppi diversi.
• Variante con ipotesi alternativa ordinata: Jonckheere-Terpstra.

Dimensione dell'effetto

Essendo basato sul chi-quadrato, si usa una misura analoga a w.

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12.3 Scala metrica — Analisi della varianza (ANOVA)

Confronta le medie di k > 2 gruppi. L'idea: scomporre la variabilità totale.

Scomposizione della devianza

$SS_{totale} = SS_{tra\ i\ gruppi} + SS_{entro\ i\ gruppi}$

• Devianza generale (totale): Σ(x_ij − M_G)² — variabilità complessiva, ignorando i gruppi.
• Devianza entro i gruppi (within): Σ(x_ij − M_j)² — variabilità interna a ciascun gruppo (errore).
• Devianza tra i gruppi (between): Σ n_j·(M_j − M_G)² — variabilità delle medie di gruppo attorno alla media generale (effetto).

Se le medie dei gruppi sono uguali, SS_totale = SS_within (la between è ~0); più le medie differiscono, maggiore è la between.

La statistica F

Si dividono le devianze per i rispettivi gradi di libertà ottenendo le varianze medie (MS) e si calcola il rapporto F di Fisher:

$F = \frac{MS_{tra\ i\ gruppi}}{MS_{entro\ i\ gruppi}} = \frac{\text{varianza spiegata}}{\text{varianza d'errore}}$

• Gradi di libertà: between = k − 1, within = N − k.
• Si confronta F con il valore critico della distribuzione F.
• F grande → le medie differiscono → rifiuto H₀ → si applicano i post-hoc.

Dimensione dell'effetto

eta quadro (η²) = proporzione di varianza spiegata (SS_between / SS_totale).

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Schema riassuntivo (k campioni indipendenti)

Scala	Test omnibus	Statistica / df
Nominale	chi-quadrato	Σ(fo−fa)²/fa, df = k−1
Ordinale	Kruskal-Wallis	KW ~ χ², df = k−1
Metrica	ANOVA (one-way)	F = MS_between/MS_within, df = (k−1, N−k)

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Riepilogo

• Confronto fra k > 2 gruppi indipendenti con test omnibus + post-hoc per localizzare le differenze.
• Nominale: chi-quadrato (df = k−1), effetto w.
• Ordinale: Kruskal-Wallis (generalizza Mann-Whitney; ~χ², df = k−1).
• Metrica: ANOVA — scompone SS_totale = SS_between + SS_within e calcola F = MS_between/MS_within; effetto η².

Sommario

Si confrontano tre o più condizioni dipendenti (k > 2 misure ripetute sugli stessi soggetti, es. tre momenti di un follow-up). Sono le generalizzazioni a k > 2 dei test del Cap. 11. Test per scala: nominale (Q di Cochran), ordinale (Friedman), metrica (ANOVA a misure ripetute / a più fattori). Come nel Cap. 12, sono test omnibus seguiti da post-hoc.

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13.1 Scala nominale — Test Q di Cochran

Per k > 2 misure dipendenti su variabile dicotomica: è la generalizzazione del test di McNemar (Cap. 11) a più di due condizioni.

$Q \sim \chi^2 \quad \text{con } gdl = k - 1$

• Si confronta Q con il χ² critico (tavole, per gdl = k−1 e α).
• Decisione: Q > χ² critico → rifiuto H₀.

Dimensione dell'effetto

Essendo basato sul χ², si usa la misura w (metrica di r).

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13.2 Scala ordinale — Test di Friedman

Per k > 2 condizioni dipendenti su scala ordinale: analisi della varianza a ranghi di Friedman (Friedman, 1937); generalizzazione del test di Wilcoxon a più di due condizioni.

Procedura: per ogni soggetto si ordinano le sue k misure assegnando i ranghi (1…k); si sommano i ranghi per condizione e si calcola la statistica F_R.

$F_R \sim \chi^2 \quad \text{con } gdl = k - 1$

• Decisione: F_R > χ² critico → rifiuto H₀; poi post-hoc.
• Variante con ipotesi alternativa ordinata: Page.

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13.3 Scala metrica — ANOVA per misure ripetute

Confronta le medie di k > 2 condizioni misurate sugli stessi soggetti. Estende la logica dell'ANOVA (Cap. 12) tenendo conto della dipendenza fra le misure: la variabilità dovuta alle differenze individuali fra soggetti viene isolata (e rimossa dall'errore), rendendo il test più potente di un'ANOVA tra gruppi indipendenti.

• Statistica F (rapporto fra varianza dell'effetto e varianza d'errore); seguono i post-hoc.

13.4 ANOVA con più di una variabile indipendente

Quando i fattori sono più di uno, si usano i modelli di analisi della varianza fattoriali, che permettono di studiare:

• gli effetti principali di ciascun fattore;
• l'interazione fra i fattori (l'effetto di un fattore dipende dal livello dell'altro).

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Schema riassuntivo (k campioni dipendenti)

Scala	Test	Generalizza	df
Nominale (dicotomica)	Q di Cochran	McNemar	χ², k−1
Ordinale	Friedman	Wilcoxon	χ², k−1
Metrica	ANOVA a misure ripetute	test t dipendenti	F

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Riepilogo

• Confronto fra k > 2 condizioni dipendenti (misure ripetute); test omnibus + post-hoc.
• Nominale: Q di Cochran (generalizza McNemar; ~χ², df = k−1).
• Ordinale: Friedman (generalizza Wilcoxon; ~χ², df = k−1).
• Metrica: ANOVA a misure ripetute (isola le differenze individuali); con più fattori → modelli fattoriali con effetti principali e interazioni.

Sommario

Mentre i capitoli 10–13 confrontavano gruppi, qui si misura il grado di associazione fra due variabili, scegliendo l'indice per scala di misura: nominale (chi-quadrato per l'indipendenza), ordinale (rho di Spearman), metrica (r di Pearson). Tutte le misure standardizzate di associazione variano in valore assoluto fra 0 (assenza) e 1 (associazione perfetta). Resta valido l'avvertimento del Cap. 9: associazione ≠ causalità.

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14.1 Scala nominale — Chi-quadrato per l'indipendenza

Si applica a una tavola di contingenza per verificare se due variabili categoriali sono associate o indipendenti (se la categoria di una modifica la probabilità di una categoria dell'altra).

Frequenze attese sotto indipendenza

Si calcolano assumendo l'indipendenza (regola del prodotto, Cap. 4):

$f_a = \frac{\text{totale marginale di riga} \times \text{totale marginale di colonna}}{n}$

Statistica e gradi di libertà

$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(f_o - f_a)^2}{f_a}, \qquad gdl = (r - 1)(c - 1)$

(r = righe, c = colonne). Decisione: χ² calcolato > χ² critico → rifiuto H₀ → le variabili sono associate.

• Tavola 2×2: la direzione si legge dai segni degli scarti (f_o − f_a).
• Tavola più grande: per localizzare l'associazione si usano i residui standardizzati aggiustati (RSA).

14.1.1 Assunzioni

1. Osservazioni indipendenti (no misure ripetute → altrimenti modelli loglineari).
2. Non più del 20% di frequenze attese < 5 (in una 2×2 nessuna f_a < 5; in alternativa → probabilità esatta di Fisher).
3. Nessuna frequenza osservata = 0.

14.1.2 Dimensione dell'effetto

Il χ² dipende molto da n, quindi è essenziale una misura di associazione standardizzata (affine alla correlazione, 0–1): phi (φ) per 2×2, V di Cramér per tavole più grandi, coefficiente di contingenza, odds ratio.

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14.2 Scala ordinale — Rho di Spearman

La misura ordinale più diffusa è il rho di Spearman (ρ) (Spearman, 1904), analogo del Pearson calcolato sui ranghi.

Procedura: si assegnano i ranghi alle due variabili, si calcolano le differenze di rango per ogni soggetto e si applica la formula del ρ.

• Varia fra −1 e +1 (interpretabile come dimensione dell'effetto).
• Decisione: |ρ calcolato| > ρ critico → rifiuto H₀ (tavole per n e α).
• In presenza di molti ex aequo (ties) è da preferire il tau di Kendall.
• Coglie relazioni monotone (non solo lineari).

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14.3 Scala metrica — r di Pearson

Il coefficiente di correlazione prodotto-momento di Bravais-Pearson (r) usa l'informazione metrica (distanza dalla media), non solo i ranghi.

Dalla covarianza alla correlazione

La covarianza è la media dei prodotti degli scarti dalla media:

$cov(x,y) = \frac{\sum (x - M_x)(y - M_y)}{n}$

• Misura la co-variabilità: segno = direzione; ma il valore dipende dall'unità di misura (es. stessi dati in giorni/libbre vs mesi/kg → covarianze diverse).
• Soluzione: standardizzare in punti z. La covarianza dei punti z è il coefficiente di correlazione r:

$r = \frac{\sum z_x \, z_y}{n} = \frac{cov(x,y)}{s_x \, s_y}$

Interpretazione

r varia fra −1 e +1, indipendente dall'unità di misura. È un indice di grado e direzione della relazione:

• Grado = valore assoluto (linee guida di Cohen):

  |r|	Forza
  < ,10	trascurabile
  ,10–,30	debole
  ,30–,50	moderata
  ≥ ,50	forte

• Direzione = segno: + → variano nello stesso verso; − → versi opposti.

14.3.1 Fattori che influenzano r

• Linearità: r misura solo la relazione lineare; una relazione curvilinea forte può dare r ≈ 0.
• Restrizione del range: ridurre la variabilità (campione omogeneo) abbassa r.
• Valori estremi (outliers): possono gonfiare o deprimere r.
• Sottogruppi eterogenei: aggregare gruppi diversi può creare correlazioni spurie o mascherarle.
• Attenuazione: la scarsa attendibilità delle misure riduce r osservato.

14.3.2 Matrici di correlazione

Con più variabili, le correlazioni a coppie si riassumono in una matrice di correlazione (simmetrica, diagonale = 1).

⚠️ Correlazione ≠ causalità: un r elevato non implica che X causi Y (Cap. 9).

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Schema riassuntivo (misure di associazione)

Scala	Indice	Range	Note
Nominale	chi-quadrato (φ, V di Cramér)	0–1	χ²=Σ(fo−fa)²/fa, df=(r−1)(c−1)
Ordinale	rho di Spearman (τ di Kendall)	−1…+1	sui ranghi; monotona
Metrica	r di Pearson	−1…+1	covarianza standardizzata; lineare

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Riepilogo

• L'associazione si misura per scala; le misure standardizzate vanno da 0/−1 a +1.
• Nominale: chi-quadrato per l'indipendenza (f_a = riga×colonna/n, df = (r−1)(c−1)); effetto φ / V di Cramér; attenzione alle assunzioni.
• Ordinale: rho di Spearman sui ranghi (τ di Kendall con molti ties).
• Metrica: r di Pearson = covarianza standardizzata (r = Σz_x z_y / n), fra −1 e +1; misura grado e direzione della relazione lineare.
• r è influenzato da linearità, restrizione del range, outliers, sottogruppi, attenuazione; correlazione ≠ causalità.

Sommario

Se due variabili correlano, si può prevedere il punteggio in una a partire dall'altra: è lo scopo dell'analisi di regressione, che produce un'equazione di predizione e quantifica il peso del predittore. Si stima la retta di regressione col principio dei minimi quadrati (minimizza l'errore di predizione). Il coefficiente di determinazione R² misura la quota di varianza del criterio spiegata dal modello. Resta valido: predire ≠ spiegare causalmente.

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Concetti introduttivi

• Predittore (X) e criterio (Y): si chiamano variabile indipendente e dipendente solo se sono soddisfatte le condizioni di causalità (Cap. 9); altrimenti restano predittore/criterio.
• Due obiettivi: (1) determinare il peso del predittore; (2) ottenere l'equazione di predizione.
• Tipi: semplice/bivariata (1 predittore, 1 criterio), multipla (più predittori), multivariata (più criteri). Tutte lineari (effetti additivi, termini a potenza 1).

Equazione di regressione

$Y = a + bX + e \qquad\Longrightarrow\qquad \hat{Y} = a + bX$

• Y = valore osservato; Ŷ = valore stimato/atteso (sulla retta); e = errore di predizione (residuo), la parte di Y non spiegata da X.
• e_i = Y_i − Ŷ_i: la relazione in psicologia è probabilistica, non esatta, quindi resta sempre un errore.

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La stima: il principio dei minimi quadrati

Fra le infinite rette possibili, si sceglie quella che rende minima la somma dei quadrati degli errori di predizione Σ(Ŷ − Y)² (si elevano al quadrato perché la somma degli errori, con segno, sarebbe 0). Derivando si ottengono le formule per i parametri:

$b = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{n\sum x^2 - (\sum x)^2} \qquad a = M_Y - b\,M_X$

I punti sulla retta (Ŷ) sono i valori che, in media, ci si attende in Y per un dato X nella popolazione; i punteggi di Y si assumono distribuiti normalmente e con uguale varianza (omoschedasticità) attorno a Ŷ.

Errore standard della stima

Misura la dispersione dei valori osservati attorno alla retta:

$s_e = \sqrt{\frac{\sum (\hat{Y} - Y)^2}{n - 2}}$

(df = n − 2, perché si stimano due parametri, a e b).

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15.1 Significato di a e b

• b — coefficiente di regressione (pendenza/slope/coefficiente angolare): di quanto varia Ŷ per ogni unità di aumento di X. Il segno dà la direzione della relazione.
• a — intercetta: il valore di Ŷ quando X = 0 (punto in cui la retta interseca l'asse Y). Interpretabile solo se X = 0 è un valore sensato; spesso (es. punteggi a test) ha solo significato matematico.
• Il coefficiente standardizzato (β) è b calcolato sui punti z; nella regressione bivariata coincide con r.

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15.2 Assunzioni della regressione

• Linearità della relazione fra X e Y;
• Normalità dei residui;
• Omoschedasticità (uguale varianza dei residui per ogni X);
• Indipendenza delle osservazioni/residui.

Si verificano tipicamente analizzando i residui (anche standardizzati).

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15.3 Analogia fra ANOVA e regressione — il coefficiente R²

Il coefficiente di determinazione R² indica la proporzione di varianza del criterio Y spiegata dalla sua relazione lineare con X. Nella regressione bivariata:

$R^2 = r^2$

Es.: se r(età, coscienziosità) = ,67 → R² = ,45 → il 45% della variabilità della coscienziosità è spiegato dalla relazione lineare con l'età.

• Logica analoga all'ANOVA: si scompone la varianza di Y in quota spiegata (dal modello) e quota d'errore (residua).
• Significatività di R²: test F (F = t² del coefficiente), con 1 gdl al numeratore e n − 2 al denominatore.
• Significatività dei parametri: test t su a e su b (H₀: parametro = 0).

⚠️ Un R² alto non garantisce causalità (predire ≠ spiegare). Un R² basso/ non significativo indica relazione debole oppure non linearità (da riconsiderare).

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Riepilogo

• La regressione produce l'equazione Ŷ = a + bX per prevedere il criterio dal predittore (predire ≠ spiegare causalmente).
• La retta di regressione è stimata coi minimi quadrati (minimizza Σ(Ŷ−Y)²); l'errore standard della stima s_e misura l'imprecisione.
• b = pendenza (variazione di Ŷ per unità di X); a = intercetta (Ŷ con X = 0).
• Assunzioni: linearità, normalità, omoschedasticità, indipendenza.
• R² = proporzione di varianza di Y spiegata (= r² nel caso bivariato); significatività con test F (df 1, n−2); R² alto non implica causalità.